(Q2-ITA/1986) Seja a \in R, 0<a<1 e \mathbf{f} a função real de variável real definida por:
f(x)=\frac{\left(a^{x^{2}}-a^{2}\right)^{\frac{1}{2}}}{\cos 2 \pi x+4 \cos \pi x+3}
Sobre o domínio \mathbf{A} desta função, podemos afirmar que:
a) (-\infty,-\sqrt{2}) \cap \mathrm{Z} \subset \mathrm{A}
b) \mathrm{A}=[-\sqrt{2}, \sqrt{2}] \cap \mathrm{Z}
c) (-\sqrt{2}, \sqrt{2}) \subset A
d) \{x \in R: x \notin Z e x \geq \sqrt{2}\} \subset A

Passo 1

O enunciado dá:
  • a\in\mathbb{R} com 0<a<1.
  • A função
f(x)=\frac{\left(a^{x^{2}}-a^{2}\right)^{\frac{1}{2}}}{\cos 2\pi x+4\cos\pi x+3}.
O que se pede: determinar qual das afirmativas (a), (b), (c) ou (d) sobre o domínio \mathbf{A} de f é verdadeira.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • A base a é positiva e menor que 1.
  • A função tem um radicando \,a^{x^{2}}-a^{2}\, dentro de raiz quadrada (exigindo não-negatividade).
  • Há um denominador trigonométrico \cos 2\pi x+4\cos\pi x+3 (exigindo que não seja zero).

Passo 2

Condição 1: radicando não negativo.
Temos que exigir
a^{x^{2}}-a^{2}\ge 0 \quad\Longleftrightarrow\quad a^{x^{2}}\ge a^{2}.
Explicação da propriedade usada: para 0<a<1 a função t\mapsto a^{t} é estritamente decrescente. Isso significa que, quando comparamos a^{u} e a^{v}, vale a^{u}\ge a^{v} se e somente se u\le v.
Aplicando isso aqui com u=x^{2} e v=2, obtemos
a^{x^{2}}\ge a^{2}\quad\Longleftrightarrow\quad x^{2}\le 2.
Portanto a condição do radicando implica
|x|\le \sqrt{2}.
Observação didática curta: se fosse a>1 a desigualdade invertia, por isso foi importante usar que 0<a<1.

Passo 3

Condição 2: denominador diferente de zero.
Vamos simplificar o denominador usando identidade trigonométrica. Recorde: \cos 2\theta = 2\cos^{2}\theta -1. Tomando \theta=\pi x temos \cos 2\pi x = 2\cos^{2}\pi x -1. Então
\cos 2\pi x+4\cos\pi x+3 = (2\cos^{2}\pi x-1)+4\cos\pi x+3 =2\cos^{2}\pi x+4\cos\pi x+2.
Factorizando:
2\cos^{2}\pi x+4\cos\pi x+2 = 2\bigl(\cos^{2}\pi x+2\cos\pi x+1\bigr) =2\bigl(\cos\pi x+1\bigr)^{2}.
Conclusão importante: o denominador é igual a 2(\cos\pi x+1)^{2}, portanto é sempre não-negativo e é zero exatamente quando \cos\pi x=-1.
Solução da equação \cos\pi x=-1: isso ocorre quando \pi x=(2k+1)\pi, isto é, quando x=2k+1 para k\in\mathbb{Z}. Portanto o denominador se anula exatamente nos inteiros ímpares (números da forma 2k+1).
Assim a condição do denominador é: x não pode ser um inteiro ímpar.

Passo 4

Juntando as duas condições de domínio:
  • Do radicando: x deve satisfazer |x|\le\sqrt{2}.
  • Do denominador: x não pode ser inteiro ímpar.
Logo
\mathbf{A}=\bigl\{x\in\mathbb{R}: |x|\le\sqrt{2}\bigr\}\setminus\{\,\text{inteiros ímpares}\,\}.í
Em palavras: o domínio é o intervalo fechado [-\sqrt{2},\sqrt{2}], exceto os inteiros ímpares que eventualmente ocorram nesse intervalo (os inteiros ímpares nele são -1 e 1 ).
Verificações rápidas e exemplos (para fixar a ideia):
  • x=0{,}5 tem |x|\le\sqrt{2} e não é inteiro ímpar → pertence a \mathbf{A}.
  • x=1 tem |1|\le\sqrt{2} mas é inteiro ímpar → não pertence a \mathbf{A} (denominador nulo).
  • x=2 tem |2|>\sqrt{2} → não pertence a \mathbf{A} (radicando negativo).
  • x=\sqrt{2} tem |x|=\sqrt{2} e não é inteiro ímpar → pertence a \mathbf{A} (radicando zero permitido).

Passo 5

Analisando cada alternativa:
a) (-\infty,-\sqrt{2})\cap\mathbb{Z}\subset\mathbf{A}.
  • Esta alternativa diz que inteiros menores que -\sqrt{2} estão no domínio. Mas qualquer inteiro com |x|>\sqrt{2} viola a condição do radicando ( x^{2}>2), logo NÃO pertence a \mathbf{A}. Portanto (a) é falsa.
b) \mathbf{A}=[-\sqrt{2},\sqrt{2}]\cap\mathbb{Z}.
  • Esta afirma que o domínio é apenas os inteiros no intervalo [-\sqrt{2},\sqrt{2}]. Mas na verdade o domínio contém muitos pontos não inteiros (por exemplo x=0{,}5), e além disso exclui x=1 e x=-1. Logo (b) é falsa.
c) (-\sqrt{2},\sqrt{2})\subset\mathbf{A}.
  • Esta afirma que todo ponto entre -\sqrt{2} e \sqrt{2} pertence ao domínio. Mas x=1 e x=-1 estão nesse intervalo e são inteiros ímpares, portanto são excluídos (denominador zero). Assim (c) é falsa.
d) \{x\in\mathbb{R}: x\notin\mathbb{Z}\\ \text{e}\\ x\ge\sqrt{2}\}\subset\mathbf{A}.
  • Esta diz que números não inteiros maiores ou iguais a \sqrt{2} pertencem ao domínio. Mas para x>\sqrt{2} o radicando fica negativo, então esses x não pertencem a \mathbf{A}. Logo (d) é falsa.
Portanto nenhuma das quatro alternativas é verdadeira à luz da descrição correta do domínio.

Resposta

Nenhuma das alternativas.

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