(Q2-ITA/1986) Seja
e
a função real de variável real definida por:
Sobre o domínio
desta função, podemos afirmar que:
a)
b)
c)
d)
e
a)
b)
c)
d)
Passo 1
O enunciado dá:
-
com . - A função
O que se pede: determinar qual das afirmativas (a), (b), (c) ou (d) sobre o domínio
de
é verdadeira.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
- A base
é positiva e menor que . - A função tem um radicando
dentro de raiz quadrada (exigindo não-negatividade). - Há um denominador trigonométrico
(exigindo que não seja zero).
Passo 2
Condição 1: radicando não negativo.
Temos que exigir
Explicação da propriedade usada: para
a função
é estritamente decrescente. Isso significa que, quando comparamos
e
, vale
se e somente se
.
Aplicando isso aqui com
e
, obtemos
Portanto a condição do radicando implica
Observação didática curta: se fosse
a desigualdade invertia, por isso foi importante usar que
.
Passo 3
Condição 2: denominador diferente de zero.
Vamos simplificar o denominador usando identidade trigonométrica. Recorde:
. Tomando
temos
. Então
Factorizando:
Conclusão importante: o denominador é igual a
, portanto é sempre não-negativo e é zero exatamente quando
.
Solução da equação
: isso ocorre quando
, isto é, quando
para
. Portanto o denominador se anula exatamente nos inteiros ímpares (números da forma
).
Assim a condição do denominador é:
não pode ser um inteiro ímpar.
Passo 4
Juntando as duas condições de domínio:
- Do radicando:
deve satisfazer . - Do denominador:
não pode ser inteiro ímpar.
Logo
Em palavras: o domínio é o intervalo fechado
, exceto os inteiros ímpares que eventualmente ocorram nesse intervalo (os inteiros ímpares nele são
e
).
Verificações rápidas e exemplos (para fixar a ideia):
-
tem e não é inteiro ímpar → pertence a . -
tem mas é inteiro ímpar → não pertence a (denominador nulo). -
tem → não pertence a (radicando negativo). -
tem e não é inteiro ímpar → pertence a (radicando zero permitido).
Passo 5
Analisando cada alternativa:
a)
.
- Esta alternativa diz que inteiros menores que
estão no domínio. Mas qualquer inteiro com viola a condição do radicando ( ), logo NÃO pertence a . Portanto (a) é falsa.
b)
.
- Esta afirma que o domínio é apenas os inteiros no intervalo
. Mas na verdade o domínio contém muitos pontos não inteiros (por exemplo ), e além disso exclui e . Logo (b) é falsa.
c)
.
- Esta afirma que todo ponto entre
e pertence ao domínio. Mas e estão nesse intervalo e são inteiros ímpares, portanto são excluídos (denominador zero). Assim (c) é falsa.
d)
.
- Esta diz que números não inteiros maiores ou iguais a
pertencem ao domínio. Mas para o radicando fica negativo, então esses não pertencem a . Logo (d) é falsa.
Portanto nenhuma das quatro alternativas é verdadeira à luz da descrição correta do domínio.
Resposta
Nenhuma das alternativas.