Qual é o cosseno do ângulo de rotação?
Dica: Determine eixo de rotação, uma direção ortogonal ao eixo e determine o ângulo que este vetor é rodado.
(A) -\frac{3}{5}
(B) \frac{4}{5}
(C) -\frac{4}{5}
(D) \frac{3}{5}
(E) -\frac{1}{2}
(F) -\frac{3}{4}
(G) \frac{1}{2}
(H) \frac{3}{4}
Passo 1
O enunciado dá a matriz de rotação em \mathbb{R}^{3}
e pede o cosseno do ângulo de rotação. A dica indica: primeiro encontrar o eixo de rotação (vetor fixo pela rotação), depois escolher um vetor ortogonal a esse eixo e determinar o ângulo que esse vetor sofre ao ser aplicado por R.\n
Informações relevantes extraídas do enunciado:
onde \theta é o ângulo de rotação em torno de um eixo que passa pela origem.\n
Não executamos cálculos ainda; só organizamos o que é pedido e os dados que temos.]
Passo 2
Encontrar o eixo de rotação: um eixo corresponde a um vetor v\neq 0 tal que R v = v. Isso significa que v é autovetor de R com autovalor 1. Vou resolver (R-I)v=0.\n
Como R=\tfrac{1}{5}A com
Isso dá x = -2z. A terceira equação é -4x -8z = 0; substituindo x=-2z obtemos -4(-2z)-8z=8z-8z=0, consistente.\n
Escolhendo z=1 (qualquer escalar funcionaria), obtemos
x=-2,\qquad y=x=-2,\qquad z=1.
Portanto um vetor direção do eixo de rotação é
v = \begin{pmatrix}-2\\[4pt]-2\\[4pt]1\end{pmatrix}.
Esse é o eixo (qualquer múltiplo de v serve).]
Passo 4
Escolher um vetor u ortogonal ao eixo para medir o ângulo de rotação no plano perpendicular ao eixo. Precisamos de u tal que u\cdot v=0.\n
Tomemos a escolha simples u=\begin{pmatrix}1\\[4pt]-1\\[4pt]0\end{pmatrix}. Verificamos a ortogonalidade:
Verificação alternativa (opcional, para aumentar confiança): existe uma fórmula para matrizes de rotação em \mathbb{R}^{3} que relaciona a traço (soma dos elementos diagonais) com o cosseno do ângulo:
\operatorname{tr}(R)=1+2\cos(\theta).
Calculemos \operatorname{tr}(R). A diagonal de R é \tfrac{1}{5}(0,0,-3), logo