Q12: A matriz R abaixo representa uma rotação em torno de um eixo passando pela origem, em \mathbb{R}^{3} :
R=\frac{1}{5}\left[\begin{array}{rrr} 0 & 5 & 0 \\\\ 3 & 0 & -4 \\\\ -4 & 0 & -3 \end{array}\right]
Qual é o cosseno do ângulo de rotação?
Dica: Determine eixo de rotação, uma direção ortogonal ao eixo e determine o ângulo que este vetor é rodado.
(A) -\frac{3}{5}
(B) \frac{4}{5}
(C) -\frac{4}{5}
(D) \frac{3}{5}
(E) -\frac{1}{2}
(F) -\frac{3}{4}
(G) \frac{1}{2}
(H) \frac{3}{4}

Passo 1

O enunciado dá a matriz de rotação em \mathbb{R}^{3}
R=\frac{1}{5}\begin{pmatrix}0 & 5 & 0 \\[4pt] 3 & 0 & -4 \\[4pt] -4 & 0 & -3\end{pmatrix}
e pede o cosseno do ângulo de rotação. A dica indica: primeiro encontrar o eixo de rotação (vetor fixo pela rotação), depois escolher um vetor ortogonal a esse eixo e determinar o ângulo que esse vetor sofre ao ser aplicado por R.\n
Informações relevantes extraídas do enunciado:
\text{Matriz }R\text{ dada, queremos } \cos(\theta),
onde \theta é o ângulo de rotação em torno de um eixo que passa pela origem.\n
Não executamos cálculos ainda; só organizamos o que é pedido e os dados que temos.]

Passo 2

Encontrar o eixo de rotação: um eixo corresponde a um vetor v\neq 0 tal que R v = v. Isso significa que v é autovetor de R com autovalor 1. Vou resolver (R-I)v=0.\n
Como R=\tfrac{1}{5}A com
A=\begin{pmatrix}0 & 5 & 0 \\[4pt] 3 & 0 & -4 \\[4pt] -4 & 0 & -3\end{pmatrix},
temos
R-I=\frac{1}{5}A - I = \frac{1}{5}(A-5I).
Logo resolver (R-I)v=0 é equivalente a resolver (A-5I)v=0. Vamos calcular A-5I:
A-5I=\begin{pmatrix}0-5 & 5 & 0 \\[4pt] 3 & 0-5 & -4 \\[4pt] -4 & 0 & -3-5\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}-5 & 5 & 0 \\[4pt] 3 & -5 & -4 \\[4pt] -4 & 0 & -8\end{pmatrix}.]

Passo 3

Resolver o sistema (A-5I)v=0\) com \(v=(x,y,z)^{T}\). As equações são: \[\begin{cases} -5x + 5y + 0z = 0,\\[4pt] 3x -5y -4z = 0,\\[4pt] -4x + 0y -8z = 0. \end{cases}
Da primeira equação vem -5x+5y=0\], portanto \(y=x.\n
Substituindo y=x na segunda:
3x -5x -4z = 0 \quad\Rightarrow\quad -2x -4z = 0 \quad\Rightarrow\quad x + 2z = 0.
Isso dá x = -2z. A terceira equação é -4x -8z = 0; substituindo x=-2z obtemos -4(-2z)-8z=8z-8z=0, consistente.\n
Escolhendo z=1 (qualquer escalar funcionaria), obtemos
x=-2,\qquad y=x=-2,\qquad z=1.
Portanto um vetor direção do eixo de rotação é
v = \begin{pmatrix}-2\\[4pt]-2\\[4pt]1\end{pmatrix}.
Esse é o eixo (qualquer múltiplo de v serve).]

Passo 4

Escolher um vetor u ortogonal ao eixo para medir o ângulo de rotação no plano perpendicular ao eixo. Precisamos de u tal que u\cdot v=0.\n
Tomemos a escolha simples u=\begin{pmatrix}1\\[4pt]-1\\[4pt]0\end{pmatrix}. Verificamos a ortogonalidade:
v\cdot u = (-2)\cdot 1 + (-2)\cdot(-1) + 1\cdot 0 = -2 + 2 + 0 = 0.
Logo u é ortogonal ao eixo — perfeito para analisar a rotação no plano perpendicular.]

Passo 5

Aplicar R a u e calcular o cosseno do ângulo entre u e Ru. Primeiro calculamos Ru:
A u = \begin{pmatrix}0 & 5 & 0 \\[4pt] 3 & 0 & -4 \\[4pt] -4 & 0 & -3\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1\\[4pt]-1\\[4pt]0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\cdot1 + 5\cdot(-1) + 0\cdot0 \\[4pt] 3\cdot1 + 0\cdot(-1) + (-4)\cdot0 \\[4pt] -4\cdot1 + 0\cdot(-1) + (-3)\cdot0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-5\\[4pt]3\\[4pt]-4\end{pmatrix}.
Como R=\tfrac{1}{5}A, então
Ru = \frac{1}{5}A u = \frac{1}{5}\begin{pmatrix}-5\\[4pt]3\\[4pt]-4\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-1\\[4pt]\tfrac{3}{5}\\[4pt]-\tfrac{4}{5}\end{pmatrix}.]

Passo 6

Para encontrar o ângulo entre u e Ru usamos a fórmula do cosseno pelo produto escalar:
\cos(\theta)=\frac{u\cdot (Ru)}{\|u\|\,\|Ru\|}.
Como R é rotação ortogonal, \|Ru\|=\|u\|. Logo podemos simplificar para
\cos(\theta)=\frac{u\cdot (Ru)}{\|u\|^{2}}.
Calculemos u\cdot (Ru) e \|u\|^{2}. Primeiro o produto escalar:
u\cdot(Ru)=\begin{pmatrix}1\\[4pt]-1\\[4pt]0\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}-1\\[4pt]\tfrac{3}{5}\\[4pt]-\tfrac{4}{5}\end{pmatrix} =1\cdot(-1)+(-1)\cdot\left(\tfrac{3}{5}\right)+0\cdot\left(-\tfrac{4}{5}\right) =-1-\tfrac{3}{5}=-\tfrac{8}{5}.
Agora \|u\|^{2}=1^{2}+(-1)^{2}+0^{2}=2. Portanto
\cos(\theta)=\frac{-\tfrac{8}{5}}{2}=-\tfrac{8}{10}=-\tfrac{4}{5}.]

Passo 7

Verificação alternativa (opcional, para aumentar confiança): existe uma fórmula para matrizes de rotação em \mathbb{R}^{3} que relaciona a traço (soma dos elementos diagonais) com o cosseno do ângulo:
\operatorname{tr}(R)=1+2\cos(\theta).
Calculemos \operatorname{tr}(R). A diagonal de R é \tfrac{1}{5}(0,0,-3), logo
\operatorname{tr}(R)=\frac{0+0-3}{5}=-\frac{3}{5}.
Da fórmula temos
-\tfrac{3}{5}=1+2\cos(\theta)\quad\Rightarrow\quad 2\cos(\theta)=-\tfrac{3}{5}-1=-\tfrac{8}{5},
\cos(\theta)=-\tfrac{4}{5},
que coincide com o resultado anterior.

Resposta

-\dfrac{4}{5} (opção (C))

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