Q14: Seja T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3} a transformação
T(x, y, z)=\left(4 x+3 y-2 z, \frac{y}{4}-9 z, z\right)
e seja Q \subset \mathbb{R}^{3} um paralelepípedo com volume 7. O volume do paralelepípedo transformado T(Q) :
(A) pode ser maior ou menor do que o volume de Q.
(B) é menor do que o volume de Q.
(C) é maior do que o volume de Q.
(D) é igual ao volume de Q.
Passo 1
O enunciado fornece a transformação linear T:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3
e diz que Q\subset\mathbb{R}^3 é um paralelepípedo com volume 7. A pergunta é: entre as alternativas (A)–(D), qual descreve corretamente o volume do paralelepípedo transformado T(Q)?
Informações relevantes dadas:
\text{(i) }T \text{ é uma transformação linear em } \mathbb{R}^3,
\text{(ii) } \operatorname{Vol}(Q)=7.
O que se pede: determinar se o volume de T(Q) pode ser maior, menor, igual ou indeterminado em relação a 7, escolhendo a alternativa correta.
Passo 2
Conceito chave (explicado): uma transformação linear T representada por uma matriz A em relação à base canônica transforma um paralelepípedo gerado por vetores \{u,v,w\} num paralelepípedo gerado por \{Au,Av,Aw\}. O volume de um paralelepípedo gerado por colunas de uma matriz M é |\det(M)|.
Por que isso importa? Se o paralelepípedo Q tem matríz de colunas M (ou seja, suas arestas são colunas de M), então T(Q) tem matriz de colunas AM. Então
\det(AM)=\det(A)\det(M).
Tomando valores absolutos, o fator de escala do volume causado por T é |\det(A)|. Em palavras simples: a transformação linear multiplica volumes por |\det(A)|. Vou mostrar e usar isso para nosso T.
Passo 3
Vamos escrever a matriz A associada a T na base canônica. Pelo enunciado, as componentes saem como combinações lineares de x,y,z. Assim
porque T(x,y,z)=A\begin{pmatrix}x\y\z\end{pmatrix}.]
Passo 4
Agora calculamos \det(A). Observação: A é uma matriz triangular superior (todos os elementos abaixo da diagonal principal são zero). Para uma matriz triangular, o determinante é o produto dos elementos da diagonal principal. Aqui a diagonal tem 4, \tfrac{1}{4} e 1. Logo
\det(A)=4\cdot \tfrac{1}{4}\cdot 1=1.
Se preferir ver explicitamente com expansão de Laplace ou fórmula de 3\times3, pode-se fazer:
Como o fator de escala de volumes é |\det(A)|, temos |\det(A)|=|1|=1. Portanto T preserva volumes: o volume de T(Q) é igual ao volume de Q. Como \operatorname{Vol}(Q)=7, segue que \operatorname{Vol}(T(Q))=7. Entre as alternativas dadas, isso corresponde à alternativa (D).