Q12: Sabemos que (
) é um autovetor associado ao autovalor
da matriz
.
Assinale o valor de
.
(A) 8
(B) 5
(C) 7
(D) 6
Assinale o valor de
(A) 8
(B) 5
(C) 7
(D) 6
Passo 1
O enunciado dá que o vetor
é um autovetor associado ao autovalor
da matriz
Pergunta: qual é o valor de
? Dados relevantes: o vetor autovetor
, o autovalor
e a matriz acima. As alternativas são
.
Passo 2
Conceito que vamos usar (explicando devagar): um vetor não-nulo
é autovetor de uma matriz
com autovalor
quando vale
Isto é equivalente ao sistema homogêneo
onde
é a matriz identidade. Aqui
. Vamos montar
explicitamente. Subtraindo
da diagonal de
obtemos
Passo 3
Agora aplicamos
ao vetor
e igualamos ao vetor zero. Isso gera um sistema linear. Multiplicando linha a linha:
Primeira linha:
ou seja
Segunda linha:
ou seja
Terceira linha:
ou seja
Passo 4
Das equações da segunda e terceira linhas temos imediatamente
Substituindo
na primeira equação obtemos
Passo 5
Verificação rápida (sempre bom checar): calculemos
.
Primeira componente:
Primeira componente:
Segunda componente:
Terceira componente:
Logo
confirmando que
é autovetor associado a
.
Resposta
(C) 7