Q12: Sabemos que ( 1, a, b ) é um autovetor associado ao autovalor \lambda=5 da matriz \left[\begin{array}{rrr}-2 & 1 & 8 \\\\ 0 & 5 & 3 \\\\ 0 & 0 & 1\end{array}\right].
Assinale o valor de a.
(A) 8
(B) 5
(C) 7
(D) 6

Passo 1

O enunciado dá que o vetor (1,a,b) é um autovetor associado ao autovalor \lambda=5 da matriz
\begin{pmatrix} -2 & 1 & 8 \\\\ 0 & 5 & 3 \\\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}
Pergunta: qual é o valor de a? Dados relevantes: o vetor autovetor (1,a,b), o autovalor \lambda=5 e a matriz acima. As alternativas são 8,5,7,6.

Passo 2

Conceito que vamos usar (explicando devagar): um vetor não-nulo v é autovetor de uma matriz A com autovalor \lambda quando vale
A v = \lambda v.
Isto é equivalente ao sistema homogêneo
(A - \lambda I)v = 0,
onde I é a matriz identidade. Aqui v=(1,a,b)^T. Vamos montar (A-5I) explicitamente. Subtraindo 5 da diagonal de A obtemos
A-5I= \begin{pmatrix} -2-5 & 1 & 8 \\\\ 0 & 5-5 & 3 \\\\ 0 & 0 & 1-5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -7 & 1 & 8 \\\\ 0 & 0 & 3 \\\\ 0 & 0 & -4 \end{pmatrix}.

Passo 3

Agora aplicamos (A-5I) ao vetor (1,a,b)^T e igualamos ao vetor zero. Isso gera um sistema linear. Multiplicando linha a linha:
Primeira linha:
-7\cdot 1 + 1\cdot a + 8\cdot b = 0,
ou seja
-7 + a + 8b = 0.
Segunda linha:
0\cdot 1 + 0\cdot a + 3\cdot b = 0,
ou seja
3b = 0.
Terceira linha:
0\cdot 1 + 0\cdot a -4\cdot b = 0,
ou seja
-4b = 0.

Passo 4

Das equações da segunda e terceira linhas temos imediatamente
3b=0 \quad\Rightarrow\quad b=0.
Substituindo b=0 na primeira equação obtemos
-7 + a + 8\cdot 0 = 0 \quad\Rightarrow\quad a=7.

Passo 5

Verificação rápida (sempre bom checar): calculemos A(1,7,0)^T.
Primeira componente:
-2\cdot 1 + 1\cdot 7 + 8\cdot 0 = -2+7=5.
Segunda componente:
0\cdot 1 + 5\cdot 7 + 3\cdot 0 = 35.
Terceira componente:
0\cdot 1 + 0\cdot 7 + 1\cdot 0 = 0.
Logo
A(1,7,0)^T = (5,35,0)^T = 5(1,7,0)^T,
confirmando que (1,7,0) é autovetor associado a \lambda=5.

Resposta

(C) 7

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