Q7: Seja \mathbf{u}=\left(u_{1}, u_{2}\right). Considere a forma quadrática F(\mathbf{u})=\left[\begin{array}{ll}u_{1} & u_{2}\end{array}\right]\left[\begin{array}{rr}1 & -1 \\\\ -1 & 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}u_{1} \\\ u_{2}\end{array}\right].
Assinale a alternativa VERDADEIRA.
(A) Nenhuma das demais alternativas.
(B) F(\mathbf{u})>0 para todo \mathbf{u} \neq \mathbf{0}.
(C) F(\mathbf{u})<0 para todo \mathbf{u} \neq \mathbf{0}.
(D) Existem \mathbf{u} e \mathbf{v} tal que F(\mathbf{u})<0 e F(\mathbf{v})>0.

Passo 1

O enunciado dá o vetor \mathbf{u}=(u_{1},u_{2}) e a forma quadrática
F(\mathbf{u})=\begin{bmatrix}u_{1} & u_{2}\end{bmatrix} \begin{pmatrix}1 & -1\\[4pt]-1 & 1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}u_{1}\\[4pt]u_{2}\end{pmatrix}.
Pede-se escolher a alternativa verdadeira entre:
(A) Nenhuma das demais alternativas.
(B) F(\mathbf{u})>0 para todo \mathbf{u}\neq\mathbf{0}.
(C) F(\mathbf{u})<0 para todo \mathbf{u}\neq\mathbf{0}.
(D) Existem \mathbf{u} e \mathbf{v} tais que F(\mathbf{u})<0 e F(\mathbf{v})>0.
As informações relevantes: a matriz da forma quadrática é \displaystyle\begin{pmatrix}1 & -1\\[4pt]-1 & 1\end{pmatrix} e \mathbf{u}=(u_{1},u_{2}) com u_{1},u_{2} reais.]

Passo 2

Vamos calcular F(\mathbf{u}) passo a passo usando a definição de multiplicação matricial.
Primeiro calculemos
\begin{pmatrix}1 & -1\\[4pt]-1 & 1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}u_{1}\\[4pt]u_{2}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1\cdot u_{1} + (-1)\cdot u_{2}\\[6pt] (-1)\cdot u_{1} + 1\cdot u_{2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} u_{1}-u_{2}\\[4pt] -\,u_{1}+u_{2} \end{pmatrix}.
Agora multiplica-se à esquerda pelo vetor linha \begin{bmatrix}u_{1} & u_{2}\end{bmatrix}:
F(\mathbf{u})=u_{1}(u_{1}-u_{2})+u_{2}(-u_{1}+u_{2}).]

Passo 3

Expandindo os termos obtemos
F(\mathbf{u})=u_{1}^{2}-u_{1}u_{2}-u_{1}u_{2}+u_{2}^{2}=u_{1}^{2}-2u_{1}u_{2}+u_{2}^{2}.
Reconhecemos a expressão como um quadrado perfeito:
F(\mathbf{u})=(u_{1}-u_{2})^{2}.
Explicando o reconhecimento: a fórmula (a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} é usada com a=u_{1} e b=u_{2}, daí a identidade acima.

Passo 4

A partir de F(\mathbf{u})=(u_{1}-u_{2})^{2} concluímos que F(\mathbf{u})\ge 0 para todo \mathbf{u}, porque qualquer número real ao quadrado é não-negativo. Isto já mostra que F(\mathbf{u}) nunca é negativo, portanto as alternativas (C) e (D) (que exigem valores negativos) são falsas.
Um exemplo concreto que dá valor positivo: escolha \mathbf{u}=(1,0). Então
F(1,0)=(1-0)^{2}=1>0,
portanto existem \mathbf{u} com F(\mathbf{u})>0.

Passo 5

Para verificar se a alternativa (B) é verdadeira (isto é, se F(\mathbf{u})>0 para todo \mathbf{u}\neq\mathbf{0}), precisamos ver se existe algum vetor não nulo que torne F igual a zero.
Escolha \mathbf{u}=(1,1) que é um vetor não nulo. Calculando,
F(1,1)=(1-1)^{2}=0.
Portanto existe \mathbf{u}\neq\mathbf{0} com F(\mathbf{u})=0, o que prova que não é verdade que F(\mathbf{u})>0 para todo \mathbf{u}\neq\mathbf{0}. Logo (B) é falsa.

Passo 6

Resumo das conclusões:
  • F(\mathbf{u})=(u_{1}-u_{2})^{2}\ge 0 para todo \mathbf{u}, então nunca é negativo → (C) e (D) são falsas.
  • Existe \mathbf{u}\neq\mathbf{0} (por exemplo (1,1)) com F(\mathbf{u})=0, então F não é estritamente positiva em todos os vetores não nulos → (B) é falsa.
    Portanto a única alternativa verdadeira é (A) “Nenhuma das demais alternativas”.

Resposta

(A)

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