Q6: Dados x_{1}, x_{2} e x_{3}, considere a sequência formada pela lei de recorrência
x_{n+3}=8 x_{n}+6 x_{n+1}+3 x_{n+2}, \quad \text { para } n=1,2, \ldots
Defina \vec{v}_{n}=\left[\begin{array}{r}x_{n} \\\ x_{n+1} \\\ x_{n+2}\end{array}\right].
Assinale a matriz B tal que \vec{v}_{n+1}=B^{n} \vec{v}_{1}.
(A) \left[\begin{array}{lll}8 & 6 & 3 \\\\ 0 & 0 & 1 \\\\ 0 & 1 & 0\end{array}\right]
(B) \left[\begin{array}{lll}0 & 0 & 8 \\\\ 1 & 0 & 6 \\\\ 0 & 1 & 3\end{array}\right]
(C) \left[\begin{array}{lll}8 & 0 & 0 \\\\ 6 & 0 & 1 \\\\ 3 & 1 & 0\end{array}\right]
(D) \left[\begin{array}{lll}0 & 1 & 0 \\\\ 0 & 0 & 1 \\\\ 8 & 6 & 3\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado dá a recorrência
x_{n+3}=8x_{n}+6x_{n+1}+3x_{n+2},\quad \text{para } n=1,2,\ldots
e define o vetor
\vec{v}_{n}=\begin{bmatrix}x_{n}\\[4pt]x_{n+1}\\[4pt]x_{n+2}\end{bmatrix}.
O que se pede: escolher a matriz B entre as alternativas, tal que
\vec{v}_{n+1}=B^{n}\vec{v}_{1}.
Informações relevantes listadas:
  • Temos os termos iniciais x_{1},x_{2},x_{3} (dados pelo enunciado).
  • A recorrência relaciona x_{n+3} com x_{n},x_{n+1},x_{n+2}.
  • A relação desejada envolve transformar \vec{v}_{n} em \vec{v}_{n+1} por multiplicação por uma matriz B, e depois iterar para obter B^{n}\vec{v}_{1}.]

Passo 2

Escrevo explicitamente \vec{v}_{n+1} em componentes:
\vec{v}_{n+1}=\begin{bmatrix}x_{n+1}\\[4pt]x_{n+2}\\[4pt]x_{n+3}\end{bmatrix}.
Agora uso a recorrência para expressar x_{n+3} em termos de x_{n},x_{n+1},x_{n+2}:
x_{n+3}=8x_{n}+6x_{n+1}+3x_{n+2}.
Substituindo na componente de baixo de \vec{v}_{n+1} obtenho
\vec{v}_{n+1}=\begin{bmatrix}x_{n+1}\\[4pt]x_{n+2}\\[4pt]8x_{n}+6x_{n+1}+3x_{n+2}\end{bmatrix}.]

Passo 3

Quero uma matriz B tal que \vec{v}_{n+1}=B\vec{v}_{n}. Vou comparar entradas: se \vec{v}_{n}=\begin{bmatrix}x_{n}\x_{n+1}\x_{n+2}\end{bmatrix}, então para obter \vec{v}_{n+1} preciso que
  • a primeira componente seja x_{n+1}, isto é x_{n+1}=0\cdot x_{n}+1\cdot x_{n+1}+0\cdot x_{n+2};
  • a segunda componente seja x_{n+2}, isto é x_{n+2}=0\cdot x_{n}+0\cdot x_{n+1}+1\cdot x_{n+2};
  • a terceira componente seja 8x_{n}+6x_{n+1}+3x_{n+2}, isto é 8,6,3 como coeficientes das respectivas entradas de \vec{v}_{n}.
Portanto a matriz B que realiza isso, escrita por linhas, é
B=\begin{bmatrix} 0 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 1\\[4pt] 8 & 6 & 3 \end{bmatrix}.]

Passo 4

Vou verificar multiplicando B por \vec{v}_{n}. A multiplicação linha por coluna dá:
B\vec{v}_{n}= \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 1\\[4pt] 8 & 6 & 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix}x_{n}\\[4pt]x_{n+1}\\[4pt]x_{n+2}\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0\cdot x_{n}+1\cdot x_{n+1}+0\cdot x_{n+2}\\[6pt] 0\cdot x_{n}+0\cdot x_{n+1}+1\cdot x_{n+2}\\[6pt] 8\cdot x_{n}+6\cdot x_{n+1}+3\cdot x_{n+2} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}x_{n+1}\\[4pt]x_{n+2}\\[4pt]x_{n+3}\end{bmatrix} =\vec{v}_{n+1}.
Isso confirma que B\vec{v}_{n}=\vec{v}_{n+1}.]

Passo 5

Agora explico porque isso dá \vec{v}_{n+1}=B^{n}\vec{v}_{1}. Começando de n=1:
\vec{v}_{2}=B\vec{v}_{1},\quad \vec{v}_{3}=B\vec{v}_{2}=B(B\vec{v}_{1})=B^{2}\vec{v}_{1},
e por indução simples obtemos, para todo n\ge1,
\vec{v}_{n+1}=B^{n}\vec{v}_{1}.
Portanto a matriz B que procurávamos é exatamente a que encontramos no Passo 3.

Passo 6

Comparo a matriz obtida
\begin{bmatrix} 0 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 1\\[4pt] 8 & 6 & 3 \end{bmatrix}
com as alternativas fornecidas. Ela corresponde à alternativa (D).]

Resposta

(D)

Exercícios relacionados