Q12. Nos seguintes exercícios verificar que as y_{1} dadas são soluções das equações dadas e encontre uma solução linearmente independentes com \mathfrak{y}_{1}.
(c) y^{\prime \prime}-\frac{2 x}{1-x^{2}} y^{\prime}+\frac{6}{1-x^{2}} y=0 ; \quad(|x|<1) ; \quad y_{1}(x)=\frac{3 x^{2}-1}{2}.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
Verificar que y_{1} é realmente solução da equação.
Encontrar uma solução linearmente independente de y_{1} (ou seja, uma segunda solução y_{2} tal que \{y_{1},y_{2}\} seja um conjunto fundamental de soluções no intervalo |x|<1).
Passo 2
Verificação direta: calcular y_{1}' e y_{1}'' e substituir na equação.
Note que \int\frac{1}{3x^{2}-1}\,dx=\dfrac{\sqrt{3}}{6}\ln\!\left|\dfrac{x-\tfrac{1}{\sqrt{3}}}{x+\tfrac{1}{\sqrt{3}}}\right|.
Somando as contribuições dos termos com 3/(3x^{2}-1) e 6/(3x^{2}-1)^{2} as partes logarítmicas se cancelam, restando apenas a parte racional. Especificamente:
Como y_{2}=y_{1}\,v, o termo constante C ao multiplicar por y_{1} apenas produz uma múltipla de y_{1}. Para obter uma segunda solução linearmente independente escolhemos C=0.