Q12. Nos seguintes exercícios verificar que as y_{1} dadas são soluções das equações dadas e encontre uma solução linearmente independentes com \mathfrak{y}_{1}.
(i) x y^{\prime \prime}-y^{\prime}+4 x^{3} y=0 ; \quad(x>0) ; \quad y_{1}(x)=\operatorname{sen}\left(x^{2}\right).
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial de segunda ordem
x y''-y'+4x^{3}y=0,\qquad (x>0)
e a função proposta
y_{1}(x)=\sin\!\bigl(x^{2}\bigr).
O que se pede:
Verificar que \,y_{1}(x)=\sin(x^{2})\, é solução da equação dada.
Encontrar uma outra solução \,y_{2}(x)\, que seja linearmente independente de \,y_{1}(x).
Passo 2
Verificação direta: vamos calcular \,y_{1}' e \,y_{1}'' e substituir na equação. Primeiro uma breve lembrança das regras de derivação que vou usar:
Regra da cadeia: se h(x)=f(g(x)), então h'(x)=f'(g(x))\,g'(x).
Regra do produto: se u(x)=a(x)b(x), então u'(x)=a'(x)b(x)+a(x)b'(x).
Agora calculemos derivadas de \,y_{1}(x)=\sin(x^{2}).
Derivando com a regra da cadeia:
portanto o resultado é 0. Conclusão: \,y_{1}(x)=\sin(x^{2}) realmente satisfaz a equação.
Passo 4
Agora vamos achar uma segunda solução linearmente independente de \,y_{1}. Método escolhido: redução de ordem. Vou primeiro colocar a equação na forma padrão y''+P(x)y'+Q(x)y=0 (dividindo por x, válido porque x>0):
y''-\frac{1}{x}y'+4x^{2}y=0.
Aqui
P(x)=-\frac{1}{x},\qquad Q(x)=4x^{2}.
Passo 5
Fórmula padrão (redução de ordem): se y_{1} é uma solução não nula, então uma segunda solução pode ser obtida por
onde as integrais são indefinidas (uma constante multiplicativa pode ser ignorada porque soluções podem ser escaladas). Vou explicar rapidamente: essa fórmula surge ao procurar y_{2}=v(x)y_{1}(x) e reduzir a ordem impondo uma condição sobre v'; o integrando contém \exp(-\int P) e y_{1}^{2} na denominação.
Calculemos \exp\!\bigl(-\int P(x)\,dx\bigr). Como P(x)=-1/x,
Mas \sin(x^{2})\cot(x^{2})=\cos(x^{2}). Assim uma escolha conveniente (descartando constantes múltiplas e somas com C\,y_{1} que não mudam independência) é
y_{2}(x)=\cos\!\bigl(x^{2}\bigr).
Note que multiplicar por uma constante ou adicionar um múltiplo de y_{1} dá outra solução da mesma família; portanto escolher y_{2}=\cos(x^{2}) é perfeitamente válido.
Passo 8
Verificação de independência linear: calculemos o Wronskiano W(y_{1},y_{2}). Com y_{1}=\sin(x^{2}) e y_{2}=\cos(x^{2}),