Q12. Nos seguintes exercícios verificar que as y_{1} dadas são soluções das equações dadas e encontre uma solução linearmente independentes com \mathfrak{y}_{1}.
(h) x y^{\prime \prime}+(x-1) y^{\prime}+(3-12 x) y=0 ; \quad(x>0) ; \quad y_{1}(x)=e^{3 x}.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
x y''+(x-1)y'+(3-12x)y=0,\qquad (x>0)
e informa a função candidata \;y_{1}(x)=e^{3x}.
O que é pedido:
Verificar que \;y_{1}(x)=e^{3x} é de fato solução da equação.
Encontrar uma outra solução \;y_{2}(x) linearmente independente de \;y_{1}.
As informações relevantes que eu vou usar (já tiradas do enunciado):
A equação é linear, homogênea e de segunda ordem.
A função fornecida é \;y_{1}(x)=e^{3x}.
O domínio é x>0 (isso servirá para considerar sinais do wronskiano).
Passo 2
Verificar que \;y_{1}(x)=e^{3x} resolve a equação: calculo as derivadas e substituo.
Calcular as derivadas de \;y_{1}:
y_{1}'(x)=3e^{3x},\qquad y_{1}''(x)=9e^{3x}.
Substituindo na equação x y''+(x-1)y'+(3-12x)y obtemos
A ideia da redução de ordem: procurar \;y_{2}=v(x)\,y_{1}(x). Substituindo e usando que y_{1} já é solução, chega-se a uma equação de primeira ordem para u=v'. O resultado padrão (que aqui também vou justificar brevemente) é:
e^{-\int p} aparece ao resolver a equação linear de primeira ordem que surge para u;
a integral produce v e então y_{2}=v y_{1}.
(Se quiser: a derivação curta é: põe y=v y_{1}, obtém v''y_{1}+v'(2y_{1}'+p y_{1})=0. Com u=v' tem u'/u=-(2y_{1}'/y_{1}+p), integrando dá u=C\,y_{1}^{-2}e^{-\int p}. Integrando u obtém v.)
Como multiplicar uma solução por constante não altera linearidade independente, posso escolher uma constante conveniente (retirar o fator -\tfrac{1}{49}). Assim uma forma mais simples para a segunda solução é
y_{2}(x)=(7x+1)e^{-4x}.
Passo 6
Verificar linear independência (wronskiano) de forma direta.