Q12: Seja B a matriz 3 \times 3 que representa a projeção ortogonal sobre o plano 2 x-y+z=0. A segunda coluna da matriz B é:
(A) \left[\begin{array}{l}\frac{1}{3} \\\ \frac{5}{6} \\\ \frac{1}{6}\end{array}\right]
(B) \left[\begin{array}{r}-\frac{2}{3} \\\ \frac{1}{3} \\\\ -\frac{1}{3}\end{array}\right]
(C) \left[\begin{array}{l}\frac{2}{3} \\\ \frac{5}{3} \\\ \frac{1}{3}\end{array}\right]
(D) \left[\begin{array}{r}-\frac{1}{3} \\\ \frac{1}{6} \\\\ -\frac{1}{6}\end{array}\right]

Passo 1

O que o enunciado pede e o que é dado:\n
  • Pede-se a segunda coluna da matriz B que representa a projeção ortogonal sobre o plano dado pela equação \;2x-y+z=0.\n
  • Informação fornecida: a equação do plano \;2x-y+z=0, cuja normal (vetor perpendicular ao plano) é \;n=(2,-1,1).\n
  • Objetivo final: identificar, entre as opções (A)–(D), qual vetor é a segunda coluna da matriz B.

Passo 2

Conceito-chave e fórmula que vamos usar (explicação didática):\n
  • Se n é um vetor normal ao plano, a projeção ortogonal de um vetor v sobre a direção de n (ou seja, sobre a reta gerada por n) é dada por
\text{proj}_{n}(v)=\frac{n^{T}v}{n^{T}n}\,n.
Aqui n^{T}v é o produto interno (um número) e n^{T}n é o quadrado da norma de n.\n
  • Em termos de matrizes, a matriz de projeção ortogonal sobre a reta gerada por n é
P_{\text{linha}}=\frac{n\,n^{T}}{n^{T}n}.
Isso significa que \;P_{\text{linha}}\,v=\text{proj}_{n}(v) para todo v.\n
  • A projeção ortogonal sobre o plano (o complemento ortogonal da reta gerada por n) é simplesmente a identidade menos essa projeção na direção de n. Ou seja,
B = I - \frac{n\,n^{T}}{n^{T}n},
onde I é a matriz identidade 3\times3. Essa fórmula funciona porque qualquer vetor v se decompõe em componente paralela a n e componente no plano; subtraindo a componente paralela obtemos a projeção no plano.

Passo 3

Aplicando a fórmula ao nosso caso: primeiro calculamos n^{T}n.\n
  • O vetor normal é \;n=\begin{pmatrix}2\\\ -1\\\ 1\end{pmatrix}.\n
  • Então
n^{T}n = 2^{2}+(-1)^{2}+1^{2} = 4+1+1 = 6.
Logo o denominador será \;6.

Passo 4

Calculamos a matriz n\,n^{T} e depois \dfrac{n\,n^{T}}{n^{T}n}=\dfrac{1}{6}n\,n^{T}.\n
  • O produto externo n\,n^{T} é
n\,n^{T} = \begin{pmatrix}2\\\ -1\\\ 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2 & -1 & 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & -2 & 2\\[4pt] -2 & 1 & -1\\[4pt] 2 & -1 & 1 \end{pmatrix}.
  • Dividindo por n^{T}n=6 obtemos
\frac{n\,n^{T}}{6} = \begin{pmatrix} \frac{4}{6} & -\frac{2}{6} & \frac{2}{6}\\[4pt] -\frac{2}{6} & \frac{1}{6} & -\frac{1}{6}\\[4pt] \frac{2}{6} & -\frac{1}{6} & \frac{1}{6} \end{pmatrix}.]

Passo 5

Agora computamos B = I - \dfrac{n\,n^{T}}{6}. Vamos fazer entrada a entrada para não errar e para você poder reproduzir na prova sem calculadora.\n
  • A matriz identidade I é
I=\begin{pmatrix}1&0&0\\[4pt]0&1&0\\[4pt]0&0&1\end{pmatrix}.
  • Subtraindo termo a termo:
B = I - \frac{n\,n^{T}}{6} = \begin{pmatrix} 1-\frac{4}{6} & 0-(-\frac{2}{6}) & 0-\frac{2}{6}\\[4pt] 0-(-\frac{2}{6}) & 1-\frac{1}{6} & 0-(-\frac{1}{6})\\[4pt] 0-\frac{2}{6} & 0-(-\frac{1}{6}) & 1-\frac{1}{6} \end{pmatrix}.
  • Simplificando cada entrada (faça essas subtrações passo a passo na prova):
1-\frac{4}{6}=\frac{6-4}{6}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}, \quad 0-(-\tfrac{2}{6})=\tfrac{2}{6}=\tfrac{1}{3}, \quad 0-\tfrac{2}{6}=-\tfrac{2}{6}=-\tfrac{1}{3},
1-\tfrac{1}{6}=\tfrac{5}{6}, \quad 0-(-\tfrac{1}{6})=\tfrac{1}{6}.
  • Assim obtemos a matriz B inteira:
B=\begin{pmatrix} \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & -\frac{1}{3}\\[4pt] \frac{1}{3} & \frac{5}{6} & \frac{1}{6}\\[4pt] -\frac{1}{3} & \frac{1}{6} & \frac{5}{6} \end{pmatrix}.]

Passo 6

A segunda coluna de B é simplesmente a segunda coluna dessa matriz que acabamos de calcular. Lendo a segunda coluna da matriz acima obtemos o vetor
\begin{pmatrix}\frac{1}{3}\\[4pt]\frac{5}{6}\\[4pt]\frac{1}{6}\end{pmatrix}.
Comparando com as alternativas do enunciado, isso corresponde à alternativa (A).]

Resposta

(A) \left[\begin{array}{l}\frac{1}{3} \\[4pt] \frac{5}{6} \\[4pt] \frac{1}{6}\end{array}\right]]

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