Q12: Seja B a matriz 3 \times 3 que representa a projeção ortogonal sobre o plano 2 x-y+z=0. A segunda coluna da matriz B é:
(A) \left[\begin{array}{l}\frac{1}{3} \\\ \frac{5}{6} \\\ \frac{1}{6}\end{array}\right]
(B) \left[\begin{array}{r}-\frac{2}{3} \\\ \frac{1}{3} \\\\ -\frac{1}{3}\end{array}\right]
(C) \left[\begin{array}{l}\frac{2}{3} \\\ \frac{5}{3} \\\ \frac{1}{3}\end{array}\right]
(D) \left[\begin{array}{r}-\frac{1}{3} \\\ \frac{1}{6} \\\\ -\frac{1}{6}\end{array}\right]
Passo 1
O que o enunciado pede e o que é dado:\n
Pede-se a segunda coluna da matriz B que representa a projeção ortogonal sobre o plano dado pela equação \;2x-y+z=0.\n
Informação fornecida: a equação do plano \;2x-y+z=0, cuja normal (vetor perpendicular ao plano) é \;n=(2,-1,1).\n
Objetivo final: identificar, entre as opções (A)–(D), qual vetor é a segunda coluna da matriz B.
Passo 2
Conceito-chave e fórmula que vamos usar (explicação didática):\n
Se n é um vetor normal ao plano, a projeção ortogonal de um vetor v sobre a direção de n (ou seja, sobre a reta gerada por n) é dada por
\text{proj}_{n}(v)=\frac{n^{T}v}{n^{T}n}\,n.
Aqui n^{T}v é o produto interno (um número) e n^{T}n é o quadrado da norma de n.\n
Em termos de matrizes, a matriz de projeção ortogonal sobre a reta gerada por n é
P_{\text{linha}}=\frac{n\,n^{T}}{n^{T}n}.
Isso significa que \;P_{\text{linha}}\,v=\text{proj}_{n}(v) para todo v.\n
A projeção ortogonal sobre o plano (o complemento ortogonal da reta gerada por n) é simplesmente a identidade menos essa projeção na direção de n. Ou seja,
B = I - \frac{n\,n^{T}}{n^{T}n},
onde I é a matriz identidade 3\times3. Essa fórmula funciona porque qualquer vetor v se decompõe em componente paralela a n e componente no plano; subtraindo a componente paralela obtemos a projeção no plano.
Passo 3
Aplicando a fórmula ao nosso caso: primeiro calculamos n^{T}n.\n
O vetor normal é \;n=\begin{pmatrix}2\\\ -1\\\ 1\end{pmatrix}.\n
Então
n^{T}n = 2^{2}+(-1)^{2}+1^{2} = 4+1+1 = 6.
Logo o denominador será \;6.
Passo 4
Calculamos a matriz n\,n^{T} e depois \dfrac{n\,n^{T}}{n^{T}n}=\dfrac{1}{6}n\,n^{T}.\n