Q9: Considere a transformação linear T(x, y, z)= (2 x-y-z,-2 x-2 y-3 z, x-y-z).
Determine B a matriz que representa a INVERSA de T.
A entrada b_{12} vale:
(A) 3
(B) 1
(C) 2
(D) 0
Passo 1
O enunciado dá a transformação linear
T(x,y,z) = (\,2x - y - z,\;-2x - 2y - 3z,\; x - y - z\,)
e pede a matriz B que representa a inversa de T. Especificamente, nos perguntam o valor da entrada b_{12} (linha 1, coluna 2) da matriz B. As alternativas são (A)\;3, (B)\;1, \text{(C)}\;2 e (D)\;0.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
T é linear e atua em \mathbb{R}^3.
Os componentes de T(x,y,z) estão explícitos, ou seja, conhecemos a imagem dos vetores canônicos pela transformação (podemos extrair a matriz de representação na base canônica).
O objetivo final é encontrar b_{12}, a entrada (1,2) da matriz inversa B = A^{-1}, onde A é a matriz de T na base canônica.
Passo 2
Primeiro vamos escrever a matriz A que representa T na base canônica. Lembre que, para uma transformação linear T em \mathbb{R}^3, a matriz A tem colunas iguais às imagens dos vetores canônicos \mathbf{e}_1=(1,0,0), \mathbf{e}_2=(0,1,0), \mathbf{e}_3=(0,0,1). Calculamos:
Vamos inverter A. Vou usar o método de Gauss–Jordan (uma receita padrão e direta): montar a matriz aumentada [A\mid I] e aplicar operações elementares nas linhas até obter [I\mid A^{-1}]. Operações elementares que podemos usar: trocar linhas, multiplicar uma linha por um escalar não nulo e somar múltiplos de uma linha a outra. Essas operações correspondem a multiplicação pela inversa à esquerda, preservando a solução.
Para evitar frações desnecessárias, vamos colocar um pivô igual a 1 na primeira linha trocando a linha 1 com a linha 3 (pois a linha 3 tem 1 na primeira coluna).
Para zerar o -1 em R_1: R_1 \leftarrow R_1 + R_2.
Cálculo das entradas da esquerda: 1+0=1,\;-1+1=0,\;-1+1=0.
RHS: 0+1=1,\;0+0=0,\;1+(-2)=-1.
Logo R_1=[1\\\ 0\\\ 0\mid 1\\\ 0\\\ -1].
Para zerar o -4 em R_3: R_3 \leftarrow R_3 + 4R_2.
Cálculo da esquerda: 0+4\cdot0=0,\;-4+4\cdot1=0,\;-5+4\cdot1=-1.
RHS: 0+4\cdot1=4,\;1+4\cdot0=1,\;2+4(-2)=2-8=-6.
Logo R_3=[0\\\ 0\\\ -1\mid 4\\\ 1\\\ -6].