Q9: Considere a transformação linear T(x, y, z)= (2 x-y-z,-2 x-2 y-3 z, x-y-z).
Determine B a matriz que representa a INVERSA de T.
A entrada b_{12} vale:
(A) 3
(B) 1
(C) 2
(D) 0

Passo 1

O enunciado dá a transformação linear
T(x,y,z) = (\,2x - y - z,\;-2x - 2y - 3z,\; x - y - z\,)
e pede a matriz B que representa a inversa de T. Especificamente, nos perguntam o valor da entrada b_{12} (linha 1, coluna 2) da matriz B. As alternativas são (A)\;3, (B)\;1, \text{(C)}\;2 e (D)\;0.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • T é linear e atua em \mathbb{R}^3.
  • Os componentes de T(x,y,z) estão explícitos, ou seja, conhecemos a imagem dos vetores canônicos pela transformação (podemos extrair a matriz de representação na base canônica).
  • O objetivo final é encontrar b_{12}, a entrada (1,2) da matriz inversa B = A^{-1}, onde A é a matriz de T na base canônica.

Passo 2

Primeiro vamos escrever a matriz A que representa T na base canônica. Lembre que, para uma transformação linear T em \mathbb{R}^3, a matriz A tem colunas iguais às imagens dos vetores canônicos \mathbf{e}_1=(1,0,0), \mathbf{e}_2=(0,1,0), \mathbf{e}_3=(0,0,1). Calculamos:
T(1,0,0) = (2,-2,1),\quad T(0,1,0)=(-1,-2,-1),\quad T(0,0,1)=(-1,-3,-1).
Portanto
A=\begin{pmatrix}2 & -1 & -1\\\\ -2 & -2 & -3\\\\ 1 & -1 & -1\end{pmatrix}.

Passo 3

Vamos inverter A. Vou usar o método de Gauss–Jordan (uma receita padrão e direta): montar a matriz aumentada [A\mid I] e aplicar operações elementares nas linhas até obter [I\mid A^{-1}]. Operações elementares que podemos usar: trocar linhas, multiplicar uma linha por um escalar não nulo e somar múltiplos de uma linha a outra. Essas operações correspondem a multiplicação pela inversa à esquerda, preservando a solução.

Passo 4

Montamos a matriz aumentada inicial:
\left[\begin{array}{ccc|ccc} 2 & -1 & -1 & 1 & 0 & 0\\\\ -2 & -2 & -3 & 0 & 1 & 0\\\\ 1 & -1 & -1 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right].
Para evitar frações desnecessárias, vamos colocar um pivô igual a 1 na primeira linha trocando a linha 1 com a linha 3 (pois a linha 3 tem 1 na primeira coluna).

Passo 5

Troca R_1\leftrightarrow R_3. Ficamos com:
\left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & -1 & -1 & 0 & 0 & 1\\\\ -2 & -2 & -3 & 0 & 1 & 0\\\\ 2 & -1 & -1 & 1 & 0 & 0 \end{array}\right].

Passo 6

Eliminamos os elementos abaixo do pivô da coluna 1.
  • R_2 \leftarrow R_2 + 2R_1:
R_2: (-2)+2\cdot1=0,\quad -2+2(-1)=-4,\quad -3+2(-1)=-5,
RHS: (0)+2(0)=0,\;1+2(0)=1,\;0+2(1)=2. Então R_2=[0\\\ -4\\\ -5\mid 0\\\ 1\\\ 2].
  • R_3 \leftarrow R_3 - 2R_1:
R_3: 2-2\cdot1=0,\quad -1-2(-1)=1,\quad -1-2(-1)=1,
RHS: 1-2\cdot0=1,\;0-2\cdot0=0,\;0-2\cdot1=-2. Então R_3=[0\\\ 1\\\ 1\mid 1\\\ 0\\\ -2].
Agora a matriz é
\left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & -1 & -1 & 0 & 0 & 1\\\\ 0 & -4 & -5 & 0 & 1 & 2\\\\ 0 & 1 & 1 & 1 & 0 & -2 \end{array}\right].

Passo 7

Para o pivô da segunda coluna, usamos a linha 3 que já tem 1 nessa coluna. Trocamos R_2\leftrightarrow R_3 para ter o pivô 1 na segunda linha:
\left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & -1 & -1 & 0 & 0 & 1\\\\ 0 & 1 & 1 & 1 & 0 & -2\\\\ 0 & -4 & -5 & 0 & 1 & 2 \end{array}\right].

Passo 8

Eliminamos os outros elementos da coluna 2.
  • Para zerar o -1 em R_1: R_1 \leftarrow R_1 + R_2.
    Cálculo das entradas da esquerda: 1+0=1,\;-1+1=0,\;-1+1=0.
    RHS: 0+1=1,\;0+0=0,\;1+(-2)=-1.
    Logo R_1=[1\\\ 0\\\ 0\mid 1\\\ 0\\\ -1].
  • Para zerar o -4 em R_3: R_3 \leftarrow R_3 + 4R_2.
    Cálculo da esquerda: 0+4\cdot0=0,\;-4+4\cdot1=0,\;-5+4\cdot1=-1.
    RHS: 0+4\cdot1=4,\;1+4\cdot0=1,\;2+4(-2)=2-8=-6.
    Logo R_3=[0\\\ 0\\\ -1\mid 4\\\ 1\\\ -6].
Agora:
\left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & -1\\\\ 0 & 1 & 1 & 1 & 0 & -2\\\\ 0 & 0 & -1 & 4 & 1 & -6 \end{array}\right].

Passo 9

Pivô na terceira coluna: multiplicamos R_3 por -1 para obter pivô 1:
R_3 \leftarrow -1\cdot R_3 = [0\\\ 0\\\ 1\mid -4\\\ -1\\\ 6].
Agora eliminamos a entrada 1 na posição (2,3) usando R_2 \leftarrow R_2 - R_3:
  • Esquerda R_2: 0,\,1,\,1-1=0.
  • RHS R_2: (1)-(-4)=5,\;0-(-1)=1,\;-2-6=-8.
    Então R_2=[0\\\ 1\\\ 0\mid 5\\\ 1\\\ -8].
R_1 já tem zero na terceira coluna, portanto continua R_1=[1\\\ 0\\\ 0\mid 1\\\ 0\\\ -1].

Passo 10

Agora a parte esquerda já é a matriz identidade. A parte direita é a inversa B=A^{-1}. Portanto
B = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1\\[4pt] 5 & 1 & -8\\[4pt] -4 & -1 & 6 \end{pmatrix}.
(Dica didática curta: para checar, você pode multiplicar A por B e confirmar que obtém a identidade; isso confirma que não houve erro nas operações.)]

Passo 11

A entrada pedida é b_{12}, ou seja, linha 1, coluna 2 de B. Observando B acima, temos b_{12}=0.

Resposta

0

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