Q12: Sejam \vec{v}_{1}, \vec{v}_{2}, \vec{v}_{3} e \vec{w} vetores quaisquer de \mathbb{R}^{3}. Assinale a alternativa FALSA.
(A) \operatorname{det}\left(\left[\begin{array}{lll}\vec{v}_{1} & \vec{v}_{2} & \vec{v}_{3}\end{array}\right]\right)=0 se, e somente se, \left\{\vec{v}_{1}, \vec{v}_{2}, \vec{v}_{3}\right\} é linearmente dependente.
(B) \operatorname{det}\left(\left[\begin{array}{lll}\vec{v}_{1} & \vec{v}_{2}+2 \vec{v}_{3} & \vec{v}_{3}\end{array}\right]\right)=\operatorname{det}\left(\left[\begin{array}{lll}\vec{v}_{1} & \vec{v}_{2} & \vec{v}_{3}\end{array}\right]\right)
(C) \operatorname{det}\left(\left[\begin{array}{lll}\vec{v}_{1} & \vec{v}_{2}+\vec{w} & \vec{v}_{3}\end{array}\right]\right)=
\operatorname{det}\left(\left[\begin{array}{lll}\vec{v}_{1} & \vec{v}_{2} & \vec{v}_{3}\end{array}\right]\right)+\operatorname{det}\left(\left[\begin{array}{lll}\vec{v}_{1} & \vec{w} & \vec{v}_{3}\end{array}\right]\right)
(D) 3 \operatorname{det}\left(\left[\begin{array}{lll}\vec{v}_{1} & \vec{v}_{2} & \vec{v}_{3}\end{array}\right]\right)=\operatorname{det}\left(\left[\begin{array}{lll}3 \vec{v}_{1} & 3 \vec{v}_{2} & 3 \vec{v}_{3}\end{array}\right]\right)
(E) Não sei

Passo 1

O enunciado pede: identificar qual das alternativas (A) a (E) é FALSA, dado que \vec{v}_{1},\vec{v}_{2},\vec{v}_{3},\vec{w} são vetores quaisquer de \mathbb{R}^{3}. As alternativas são:
(A) \operatorname{det}\!\left(\left[\begin{array}{lll}\vec{v}_{1} & \vec{v}_{2} & \vec{v}_{3}\end{array}\right]\right)=0 se, e somente se, \{\vec{v}_{1},\vec{v}_{2},\vec{v}_{3}\} é linearmente dependente.
(B) \operatorname{det}\!\left(\left[\begin{array}{lll}\vec{v}_{1} & \vec{v}_{2}+2\vec{v}_{3} & \vec{v}_{3}\end{array}\right]\right)=\operatorname{det}\!\left(\left[\begin{array}{lll}\vec{v}_{1} & \vec{v}_{2} & \vec{v}_{3}\end{array}\right]\right).
(C) \operatorname{det}\!\left(\left[\begin{array}{lll}\vec{v}_{1} & \vec{v}_{2}+\vec{w} & \vec{v}_{3}\end{array}\right]\right)=\operatorname{det}\!\left(\left[\begin{array}{lll}\vec{v}_{1} & \vec{v}_{2} & \vec{v}_{3}\end{array}\right]\right)+\operatorname{det}\!\left(\left[\begin{array}{lll}\vec{v}_{1} & \vec{w} & \vec{v}_{3}\end{array}\right]\right).
(D) 3\operatorname{det}\!\left(\left[\begin{array}{lll}\vec{v}_{1} & \vec{v}_{2} & \vec{v}_{3}\end{array}\right]\right)=\operatorname{det}\!\left(\left[\begin{array}{lll}3\vec{v}_{1} & 3\vec{v}_{2} & 3\vec{v}_{3}\end{array}\right]\right).
(E) Não sei.
Informações relevantes: operamos com determinantes de matrizes 3\times3 cujas colunas são vetores em \mathbb{R}^{3}. A tarefa é achar a alternativa que é falsa.

Passo 2

Vou apresentar as propriedades de determinante que usarei — explicadas passo a passo, do jeitinho que você pediu.
  1. Linearidade em cada coluna (multilinearidade):
    • Significa que, se eu fixo as outras colunas, o determinante é uma função linear na coluna considerada. Em termos práticos, para a segunda coluna:
    \operatorname{det}\!\left(\left[\begin{array}{lll}\vec{v}_{1} & \alpha\vec{a}+\beta\vec{b} & \vec{v}_{3}\end{array}\right]\right) =\alpha\,\operatorname{det}\!\left(\left[\begin{array}{lll}\vec{v}_{1} & \vec{a} & \vec{v}_{3}\end{array}\right]\right) +\beta\,\operatorname{det}\!\left(\left[\begin{array}{lll}\vec{v}_{1} & \vec{b} & \vec{v}_{3}\end{array}\right]\right),
    onde \alpha,\beta são escalares (números reais).
    • O que isso quer dizer em palavras: se uma coluna é soma de dois vetores, o determinante se separa em soma dos determinantes com cada parcela; se multiplico uma coluna por um escalar, o determinante é multiplicado por esse escalar (mantendo as outras colunas fixas).
  2. Alternância (ou se duas colunas são iguais, determinante é zero):
    • Se duas colunas de uma matriz são idênticas, o determinante vale zero:
    \operatorname{det}\!\left(\left[\begin{array}{lll}\cdots & \vec{u} & \cdots & \vec{u} & \cdots\end{array}\right]\right)=0.
    • Isso decorre do fato de permutar linhas/colunas muda sinal do determinante; trocar duas colunas iguais não muda a matriz, mas muda o sinal, então só pode ser zero.
  3. Fator comum por coluna:
    • Se uma coluna é multiplicada por um escalar \lambda, o determinante também é multiplicado por \lambda:
    \operatorname{det}\!\left(\left[\begin{array}{lll}\vec{v}_{1} & \lambda\vec{v}_{2} & \vec{v}_{3}\end{array}\right]\right)=\lambda\operatorname{det}\!\left(\left[\begin{array}{lll}\vec{v}_{1} & \vec{v}_{2} & \vec{v}_{3}\end{array}\right]\right).
    • Aplicando isso em todas as três colunas ao mesmo tempo, se cada coluna for multiplicada por \lambda, o determinante fica multiplicado por \lambda^{3}:
    \operatorname{det}\!\left(\left[\begin{array}{lll}\lambda\vec{v}_{1} & \lambda\vec{v}_{2} & \lambda\vec{v}_{3}\end{array}\right]\right)=\lambda^{3}\operatorname{det}\!\left(\left[\begin{array}{lll}\vec{v}_{1} & \vec{v}_{2} & \vec{v}_{3}\end{array}\right]\right).
  4. Relação com independência linear (usarei depois no item A):
    • Uma matriz quadrada é inversível (tem inversa) se, e somente se, seu determinante for diferente de zero.
    • Para uma matriz cujas colunas são \vec{v}_{1},\vec{v}_{2},\vec{v}_{3} em \mathbb{R}^{3}, isso significa que as colunas são linearmente independentes se, e somente se, o determinante for não-nulo.
Essas são as ferramentas que vou aplicar às alternativas. Se algo aqui parecer confuso, me diz que eu volto e explico com um exemplo numérico.

Passo 3

Analisando a alternativa (A).
A alternativa afirma que \operatorname{det}\!\left(\left[\begin{array}{lll}\vec{v}_{1} & \vec{v}_{2} & \vec{v}_{3}\end{array}\right]\right)=0 se, e somente se, \{\vec{v}_{1},\vec{v}_{2},\vec{v}_{3}\} é linearmente dependente.
Explicação/justificativa passo a passo:
  • “Se” parte: Se as colunas são linearmente dependentes, existe combinação linear não trivial a_{1}\vec{v}_{1}+a_{2}\vec{v}_{2}+a_{3}\vec{v}_{3}=\vec{0} com nem todos a_{i} nulos. Isso significa que a matriz de colunas não é de posto completo (não tem posto 3), logo a matriz é singular, logo seu determinante é zero. Portanto dependência implica determinante zero.
  • “Somente se” parte: Se o determinante é zero, a matriz é singular, não invertível, então suas colunas não são independentes — isto é, são linearmente dependentes.
Conclusão: (A) está correta.

Passo 4

Analisando a alternativa (B).
Temos que verificar se
\operatorname{det}\!\left(\left[\begin{array}{lll}\vec{v}_{1} & \vec{v}_{2}+2\vec{v}_{3} & \vec{v}_{3}\end{array}\right]\right) =\operatorname{det}\!\left(\left[\begin{array}{lll}\vec{v}_{1} & \vec{v}_{2} & \vec{v}_{3}\end{array}\right]\right).
Usando linearidade na segunda coluna (veja Passo 2), escrevemos:
\operatorname{det}\!\left(\left[\begin{array}{lll}\vec{v}_{1} & \vec{v}_{2}+2\vec{v}_{3} & \vec{v}_{3}\end{array}\right]\right) =\operatorname{det}\!\left(\left[\begin{array}{lll}\vec{v}_{1} & \vec{v}_{2} & \vec{v}_{3}\end{array}\right]\right) +2\operatorname{det}\!\left(\left[\begin{array}{lll}\vec{v}_{1} & \vec{v}_{3} & \vec{v}_{3}\end{array}\right]\right).
Agora aplicamos a propriedade de alternância: a última determinante tem duas colunas iguais ( \vec{v}_{3} aparece duas vezes), então
\operatorname{det}\!\left(\left[\begin{array}{lll}\vec{v}_{1} & \vec{v}_{3} & \vec{v}_{3}\end{array}\right]\right)=0.
Portanto sobra
\operatorname{det}\!\left(\left[\begin{array}{lll}\vec{v}_{1} & \vec{v}_{2}+2\vec{v}_{3} & \vec{v}_{3}\end{array}\right]\right) =\operatorname{det}\!\left(\left[\begin{array}{lll}\vec{v}_{1} & \vec{v}_{2} & \vec{v}_{3}\end{array}\right]\right).
Conclusão: (B) está correta.

Passo 5

Analisando a alternativa (C).
Temos que verificar se
\operatorname{det}\!\left(\left[\begin{array}{lll}\vec{v}_{1} & \vec{v}_{2}+\vec{w} & \vec{v}_{3}\end{array}\right]\right) =\operatorname{det}\!\left(\left[\begin{array}{lll}\vec{v}_{1} & \vec{v}_{2} & \vec{v}_{3}\end{array}\right]\right) +\operatorname{det}\!\left(\left[\begin{array}{lll}\vec{v}_{1} & \vec{w} & \vec{v}_{3}\end{array}\right]\right).
Isso é exatamente a expressão da linearidade do determinante na segunda coluna (ver Passo 2). Aplicando diretamente:
\operatorname{det}\!\left(\left[\begin{array}{lll}\vec{v}_{1} & \vec{v}_{2}+\vec{w} & \vec{v}_{3}\end{array}\right]\right) =\operatorname{det}\!\left(\left[\begin{array}{lll}\vec{v}_{1} & \vec{v}_{2} & \vec{v}_{3}\end{array}\right]\right) +\operatorname{det}\!\left(\left[\begin{array}{lll}\vec{v}_{1} & \vec{w} & \vec{v}_{3}\end{array}\right]\right).
Conclusão: (C) está correta.

Passo 6

Analisando a alternativa (D).
A alternativa diz:
3\operatorname{det}\!\left(\left[\begin{array}{lll}\vec{v}_{1} & \vec{v}_{2} & \vec{v}_{3}\end{array}\right]\right) =\operatorname{det}\!\left(\left[\begin{array}{lll}3\vec{v}_{1} & 3\vec{v}_{2} & 3\vec{v}_{3}\end{array}\right]\right).
Pela propriedade “fator comum por coluna” (Passo 2), multiplicar a coluna \vec{v}_{1} por 3 multiplica o determinante por 3. Fazer isso em cada uma das três colunas em sequência multiplica o determinante por 3 três vezes, ou seja por 3^{3}=27. Portanto
\operatorname{det}\!\left(\left[\begin{array}{lll}3\vec{v}_{1} & 3\vec{v}_{2} & 3\vec{v}_{3}\end{array}\right]\right) =3^{3}\operatorname{det}\!\left(\left[\begin{array}{lll}\vec{v}_{1} & \vec{v}_{2} & \vec{v}_{3}\end{array}\right]\right) =27\operatorname{det}\!\left(\left[\begin{array}{lll}\vec{v}_{1} & \vec{v}_{2} & \vec{v}_{3}\end{array}\right]\right).
Comparando com o lado esquerdo proposto, que é 3\operatorname{det}(\cdots), vemos que em geral
3\operatorname{det}(\cdots)\neq 27\operatorname{det}(\cdots),
a não ser que \operatorname{det}(\cdots)=0. Ou seja, a igualdade dada na alternativa (D) só seria verdadeira em casos especiais (quando o determinante original é zero), mas não é verdadeira para vetores quaisquer.
Um contraexemplo simples para fixar a ideia (vou construir explicitamente para você): tome \vec{v}_{1}=(1,0,0), \vec{v}_{2}=(0,1,0), \vec{v}_{3}=(0,0,1) (as colunas da matriz identidade). Então
\operatorname{det}\!\left(\left[\begin{array}{lll}\vec{v}_{1} & \vec{v}_{2} & \vec{v}_{3}\end{array}\right]\right)=1.
O lado esquerdo da alternativa é 3\cdot 1=3. O lado direito é
\operatorname{det}\!\left(\left[\begin{array}{lll}3\vec{v}_{1} & 3\vec{v}_{2} & 3\vec{v}_{3}\end{array}\right]\right) =\operatorname{det}\!\left(\left[\begin{array}{lll}(3,0,0) & (0,3,0) & (0,0,3)\end{array}\right]\right)=27.
Claramente 3\neq 27. Logo (D) é falsa.

Passo 7

Resumo final do raciocínio:
  • (A) verdadeira (determinante zero ↔ dependência linear).
  • (B) verdadeira (linearidade + alternância).
  • (C) verdadeira (linearidade).
  • (D) falsa (multiplicar todas as colunas por 3 multiplica o determinante por 3^{3}=27, não por 3; contraexemplo com base canônica confirma).
  • (E) é apenas “Não sei” — não é a resposta correta.

Resposta

(D)

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