Q12: Sejam
e
vetores quaisquer de
. Assinale a alternativa FALSA.
(A)
se, e somente se,
é linearmente dependente.
(B)
(C)
(D)
(E) Não sei
(A)
(B)
(C)
(D)
(E) Não sei
Passo 1
O enunciado pede: identificar qual das alternativas (A) a (E) é FALSA, dado que
são vetores quaisquer de
. As alternativas são:
(A)
se, e somente se,
é linearmente dependente.
(B)
.
(C)
.
(D)
.
(E) Não sei.
Informações relevantes: operamos com determinantes de matrizes
cujas colunas são vetores em
. A tarefa é achar a alternativa que é falsa.
Passo 2
Vou apresentar as propriedades de determinante que usarei — explicadas passo a passo, do jeitinho que você pediu.
-
Linearidade em cada coluna (multilinearidade):
- Significa que, se eu fixo as outras colunas, o determinante é uma função linear na coluna considerada. Em termos práticos, para a segunda coluna:
ondesão escalares (números reais). - O que isso quer dizer em palavras: se uma coluna é soma de dois vetores, o determinante se separa em soma dos determinantes com cada parcela; se multiplico uma coluna por um escalar, o determinante é multiplicado por esse escalar (mantendo as outras colunas fixas).
-
Alternância (ou se duas colunas são iguais, determinante é zero):
- Se duas colunas de uma matriz são idênticas, o determinante vale zero:
- Isso decorre do fato de permutar linhas/colunas muda sinal do determinante; trocar duas colunas iguais não muda a matriz, mas muda o sinal, então só pode ser zero.
-
Fator comum por coluna:
- Se uma coluna é multiplicada por um escalar
, o determinante também é multiplicado por :
- Aplicando isso em todas as três colunas ao mesmo tempo, se cada coluna for multiplicada por
, o determinante fica multiplicado por :
- Se uma coluna é multiplicada por um escalar
-
Relação com independência linear (usarei depois no item A):
- Uma matriz quadrada é inversível (tem inversa) se, e somente se, seu determinante for diferente de zero.
- Para uma matriz cujas colunas são
em , isso significa que as colunas são linearmente independentes se, e somente se, o determinante for não-nulo.
Essas são as ferramentas que vou aplicar às alternativas. Se algo aqui parecer confuso, me diz que eu volto e explico com um exemplo numérico.
Passo 3
Analisando a alternativa (A).
A alternativa afirma que
se, e somente se,
é linearmente dependente.
Explicação/justificativa passo a passo:
- “Se” parte: Se as colunas são linearmente dependentes, existe combinação linear não trivial
com nem todos nulos. Isso significa que a matriz de colunas não é de posto completo (não tem posto ), logo a matriz é singular, logo seu determinante é zero. Portanto dependência implica determinante zero. - “Somente se” parte: Se o determinante é zero, a matriz é singular, não invertível, então suas colunas não são independentes — isto é, são linearmente dependentes.
Conclusão: (A) está correta.
Passo 4
Analisando a alternativa (B).
Temos que verificar se
Usando linearidade na segunda coluna (veja Passo 2), escrevemos:
Agora aplicamos a propriedade de alternância: a última determinante tem duas colunas iguais (
aparece duas vezes), então
Portanto sobra
Conclusão: (B) está correta.
Passo 5
Analisando a alternativa (C).
Temos que verificar se
Isso é exatamente a expressão da linearidade do determinante na segunda coluna (ver Passo 2). Aplicando diretamente:
Conclusão: (C) está correta.
Passo 6
Analisando a alternativa (D).
A alternativa diz:
Pela propriedade “fator comum por coluna” (Passo 2), multiplicar a coluna
por
multiplica o determinante por
. Fazer isso em cada uma das três colunas em sequência multiplica o determinante por
três vezes, ou seja por
. Portanto
Comparando com o lado esquerdo proposto, que é
, vemos que em geral
a não ser que
. Ou seja, a igualdade dada na alternativa (D) só seria verdadeira em casos especiais (quando o determinante original é zero), mas não é verdadeira para vetores quaisquer.
Um contraexemplo simples para fixar a ideia (vou construir explicitamente para você): tome
,
,
(as colunas da matriz identidade). Então
O lado esquerdo da alternativa é
. O lado direito é
Claramente
. Logo (D) é falsa.
Passo 7
Resumo final do raciocínio:
- (A) verdadeira (determinante zero ↔ dependência linear).
- (B) verdadeira (linearidade + alternância).
- (C) verdadeira (linearidade).
- (D) falsa (multiplicar todas as colunas por
multiplica o determinante por , não por ; contraexemplo com base canônica confirma). - (E) é apenas “Não sei” — não é a resposta correta.
Resposta
(D)