Q12: Seja S o conjunto dos \left(x_{1}, \ldots, x_{10}\right) \in \mathbb{R}^{10} tais que:
\left\{\begin{aligned} x_{2} & =x_{7} \\\ x_{1} & =x_{4} \\\ x_{2}-x_{1} & =x_{7}-x_{4} \end{aligned}\right.
A dimensão de S é:
(A) 3
(B) 4
(C) 7
(D) 10
(E) 9
(F) 8
(G) 2
(H) 6

Passo 1

O enunciado dá o conjunto S dos vetores \left(x_{1},\ldots,x_{10}\right)\in\mathbb{R}^{10} que satisfazem as três igualdades:
\begin{aligned} x_{2} &= x_{7},\\\ x_{1} &= x_{4},\\\ x_{2}-x_{1} &= x_{7}-x_{4}. \end{aligned}
A pergunta é: qual é a dimensão de S? (Há as opções (A) 3, (B) 4, (C) 7, (D) 10, (E) 9, (F) 8, (G) 2, (H) 6.)

Passo 2

Interpretando as equações: todas são equações lineares homogêneas em \mathbb{R}^{10}. Portanto S é um subespaço linear de \mathbb{R}^{10}. Uma forma padrão de encontrar a dimensão de S é contar o número de restrições lineares independentes (o posto do sistema) e subtrair de 10:
\dim(S)=10-\operatorname{rank}(A),
onde A é a matriz das equações. Outra maneira equivalente é parametrizar os vetores de S por variáveis livres e contar quantos graus de liberdade restam. Vou usar as duas ideias para ficar bem claro.

Passo 3

Vou verificar se as três equações são independentes ou se alguma é consequência das outras. Reescrevendo-as em forma que destaque termos:
\begin{aligned} &\text{(E1)}\quad x_{2}-x_{7}=0,\\\ &\text{(E2)}\quad x_{1}-x_{4}=0,\\\ &\text{(E3)}\quad x_{2}-x_{1}-x_{7}+x_{4}=0. \end{aligned}
Note que, se subtrairmos (E2) de (E1) obtemos
(x_{2}-x_{7})-(x_{1}-x_{4})=x_{2}-x_{7}-x_{1}+x_{4}=0,
que é exatamente (E3). Em símbolos:
\text{(E3)}=\text{(E1)}-\text{(E2)}.
Portanto (E3) é combinação linear das duas primeiras e não traz nova informação: as três equações têm, na verdade, apenas duas independentes.

Passo 4

Como há exatamente duas equações lineares independentes, o posto do sistema \operatorname{rank}(A) é 2. Pelo conto de graus de liberdade,
\dim(S)=10-2=8.
Explicando em palavras: cada equação independente reduz a dimensão em 1; começando com \mathbb{R}^{10} e impondo duas restrições independentes resta um subespaço de dimensão 8.

Passo 5

Para ficar bem concreto e para que você consiga replicar isso na prova, vou parametrizar S. Podemos tomar como variáveis livres os componentes
x_{1},\; x_{2},\; x_{3},\; x_{5},\; x_{6},\; x_{8},\; x_{9},\; x_{10}.
As componentes fixas são dadas por x_{4}=x_{1} e x_{7}=x_{2} (essas duas vêm de (E2) e (E1)). Logo um vetor genérico de S é
\left(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4},x_{5},x_{6},x_{7},x_{8},x_{9},x_{10}\right)=\left(x_{1},x_{2},x_{3},x_{1},x_{5},x_{6},x_{2},x_{8},x_{9},x_{10}\right).
Isso mostra diretamente que há 8 parâmetros livres, logo dimensão 8.

Passo 6

Ainda mais concreto: podemos escrever uma base explícita de S formada por 8 vetores (cada vetor é um 10-tuplo). Uma escolha conveniente é
\begin{aligned} b_{1}&=(1,0,0,1,0,0,0,0,0,0),\\\ b_{2}&=(0,1,0,0,0,0,1,0,0,0),\\\ b_{3}&=(0,0,1,0,0,0,0,0,0,0),\\\ b_{4}&=(0,0,0,0,1,0,0,0,0,0),\\\ b_{5}&=(0,0,0,0,0,1,0,0,0,0),\\\ b_{6}&=(0,0,0,0,0,0,0,1,0,0),\\\ b_{7}&=(0,0,0,0,0,0,0,0,1,0),\\\ b_{8}&=(0,0,0,0,0,0,0,0,0,1). \end{aligned}
Cada vetor acima satisfaz as igualdades e eles são linearmente independentes; portanto formam uma base de S. Como há 8 vetores na base, \dim(S)=8.

Resposta

(F) 8

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