A pergunta é: qual é a dimensão de S? (Há as opções (A) 3, (B) 4, (C) 7, (D) 10, (E) 9, (F) 8, (G) 2, (H) 6.)
Passo 2
Interpretando as equações: todas são equações lineares homogêneas em \mathbb{R}^{10}. Portanto S é um subespaço linear de \mathbb{R}^{10}. Uma forma padrão de encontrar a dimensão de S é contar o número de restrições lineares independentes (o posto do sistema) e subtrair de 10:
\dim(S)=10-\operatorname{rank}(A),
onde A é a matriz das equações. Outra maneira equivalente é parametrizar os vetores de S por variáveis livres e contar quantos graus de liberdade restam. Vou usar as duas ideias para ficar bem claro.
Passo 3
Vou verificar se as três equações são independentes ou se alguma é consequência das outras. Reescrevendo-as em forma que destaque termos:
Portanto (E3) é combinação linear das duas primeiras e não traz nova informação: as três equações têm, na verdade, apenas duas independentes.
Passo 4
Como há exatamente duas equações lineares independentes, o posto do sistema \operatorname{rank}(A) é 2. Pelo conto de graus de liberdade,
\dim(S)=10-2=8.
Explicando em palavras: cada equação independente reduz a dimensão em 1; começando com \mathbb{R}^{10} e impondo duas restrições independentes resta um subespaço de dimensão 8.
Passo 5
Para ficar bem concreto e para que você consiga replicar isso na prova, vou parametrizar S. Podemos tomar como variáveis livres os componentes