Uma matriz quadrada de ordem n chama-se um quadrado mágico quando a soma dos elementos de cada linha, de cada coluna, da diagonal principal e da outra diagonal são iguais. Para a matriz abaixo, determine os 8 elementos restantes de modo que ela seja um quadrado mágico:
O enunciado dá uma matriz quadrada 4\times4 com alguns elementos já preenchidos e pede para determinar os 8 elementos marcados por * de modo que a matriz seja um quadrado mágico. Ou seja, todas as linhas, todas as colunas, a diagonal principal e a outra diagonal devem ter a mesma soma (chamarei essa soma de S).
As informações dadas (peguei-os diretamente do enunciado) são as entradas conhecidas da matriz:
Determinar os oito valores que substituem os * de modo que a soma de cada linha, cada coluna e as duas diagonais seja igual (valor comum S).
Passo 2
Estratégia (passo a passo do método que vamos aplicar, bem mastigado):
Vou colocar uma variável para cada entrada desconhecida e uma variável S para a soma mágica comum.
Escrever equações correspondentes às somas das linhas, colunas e diagonais.
Resolver o sistema linear resultante para encontrar S e todos os elementos desconhecidos.
Isto é mecânico: cada linha, coluna ou diagonal dá uma equação linear em S e nas incógnitas; com as equações suficientes resolveremos tudo.
Passo 3
Nomeando as incógnitas conforme a posição da matriz (isso deixa tudo organizado):
\left[\begin{array}{cccc} 1 & 2 & 3 & x\\[4pt] 4 & 5 & 6 & y\\[4pt] 7 & 8 & p & q\\[4pt] r & s & t & u \end{array}\right]
As incógnitas são x,y,p,q,r,s,t,u e a soma mágica é S.
Agora escrevo as equações básicas (cada uma é uma soma igual a S).
Use a equação da outra diagonal para obter S. A equação da outra diagonal é
x + r + 14 = S.
Substituindo x=S-6 e r=S-12 (obtidos no passo anterior):
(S-6) + (S-12) + 14 = S.
Agora resolvo essa equação:
2S -4 = S \quad\Rightarrow\quad S = 4.
Portanto a soma mágica é \,S=4. Pode parecer um valor pequeno (e até negativo para algumas entradas), mas é o que as equações lineares impostas pelos números conhecidos exigem — não há requisito no enunciado de que os elementos devam ser positivos ou distintos.
Passo 6
Com S=4, volto às expressões em função de S e calculo cada incógnita explicitamente.
Das expressões anteriores:
\begin{aligned} x &= S-6 = 4-6 = -2,\\[4pt] y &= S-15 = 4-15 = -11,\\[4pt] r &= S-12 = 4-12 = -8,\\[4pt] s &= S-15 = 4-15 = -11. \end{aligned}