Uma matriz quadrada de ordem n chama-se um quadrado mágico quando a soma dos elementos de cada linha, de cada coluna, da diagonal principal e da outra diagonal são iguais. Para a matriz abaixo, determine os 8 elementos restantes de modo que ela seja um quadrado mágico:
\left[\begin{array}{cccc} 1 & 2 & 3 & * \\ 4 & 5 & 6 & * \\ 7 & 8 & * & * \\ * & * & * & *

Passo 1

O enunciado dá uma matriz quadrada 4\times4 com alguns elementos já preenchidos e pede para determinar os 8 elementos marcados por * de modo que a matriz seja um quadrado mágico. Ou seja, todas as linhas, todas as colunas, a diagonal principal e a outra diagonal devem ter a mesma soma (chamarei essa soma de S).
As informações dadas (peguei-os diretamente do enunciado) são as entradas conhecidas da matriz:
\begin{array}{cccc} 1 & 2 & 3 & * \\\\ 4 & 5 & 6 & * \\\\ 7 & 8 & * & * \\\ * & * & * & * \end{array}
O que o problema pede:
  • Determinar os oito valores que substituem os * de modo que a soma de cada linha, cada coluna e as duas diagonais seja igual (valor comum S).

Passo 2

Estratégia (passo a passo do método que vamos aplicar, bem mastigado):
  • Vou colocar uma variável para cada entrada desconhecida e uma variável S para a soma mágica comum.
  • Escrever equações correspondentes às somas das linhas, colunas e diagonais.
  • Resolver o sistema linear resultante para encontrar S e todos os elementos desconhecidos.
    Isto é mecânico: cada linha, coluna ou diagonal dá uma equação linear em S e nas incógnitas; com as equações suficientes resolveremos tudo.

Passo 3

Nomeando as incógnitas conforme a posição da matriz (isso deixa tudo organizado):
\left[\begin{array}{cccc} 1 & 2 & 3 & x\\[4pt] 4 & 5 & 6 & y\\[4pt] 7 & 8 & p & q\\[4pt] r & s & t & u \end{array}\right]
As incógnitas são x,y,p,q,r,s,t,u e a soma mágica é S.
Agora escrevo as equações básicas (cada uma é uma soma igual a S).
Somatórios das linhas:
\begin{aligned} \text{Linha 1:}\quad &1+2+3+x = 6+x = S,\\\ \text{Linha 2:}\quad &4+5+6+y = 15+y = S,\\\ \text{Linha 3:}\quad &7+8+p+q = 15+p+q = S,\\\ \text{Linha 4:}\quad &r+s+t+u = S. \end{aligned}
Somatórios das colunas:
\begin{aligned} \text{Coluna 1:}\quad &1+4+7+r = 12+r = S,\\\ \text{Coluna 2:}\quad &2+5+8+s = 15+s = S,\\\ \text{Coluna 3:}\quad &3+6+p+t = 9+p+t = S,\\\ \text{Coluna 4:}\quad &x+y+q+u = S. \end{aligned}
Somatórios das diagonais:
\begin{aligned} \text{Diagonal principal:}\quad &1+5+p+u = 6+p+u = S,\\\ \text{Outra diagonal:}\quad &x+6+8+r = x+r+14 = S. \end{aligned}]

Passo 4

A partir das equações mais simples, expresso várias incógnitas em função de S.
Das primeiras duas linhas e das primeiras duas colunas:
\begin{aligned} x &= S-6,\\\ y &= S-15,\\\ r &= S-12,\\\ s &= S-15. \end{aligned}
Registre mental: já temos quatro incógnitas em termos de S.
Além disso, das linhas/colunas que envolvem p,t,q,u temos:
\begin{aligned} p+q &= S-15 \quad\text{(da linha 3)},\\\ p+t &= S-9 \quad\text{(da coluna 3)},\\\ p+u &= S-6 \quad\text{(da diagonal principal)},\\\ x+y+q+u &= S \quad\text{(da coluna 4)}. \end{aligned}

Passo 5

Use a equação da outra diagonal para obter S. A equação da outra diagonal é
x + r + 14 = S.
Substituindo x=S-6 e r=S-12 (obtidos no passo anterior):
(S-6) + (S-12) + 14 = S.
Agora resolvo essa equação:
2S -4 = S \quad\Rightarrow\quad S = 4.
Portanto a soma mágica é \,S=4. Pode parecer um valor pequeno (e até negativo para algumas entradas), mas é o que as equações lineares impostas pelos números conhecidos exigem — não há requisito no enunciado de que os elementos devam ser positivos ou distintos.

Passo 6

Com S=4, volto às expressões em função de S e calculo cada incógnita explicitamente.
Das expressões anteriores:
\begin{aligned} x &= S-6 = 4-6 = -2,\\[4pt] y &= S-15 = 4-15 = -11,\\[4pt] r &= S-12 = 4-12 = -8,\\[4pt] s &= S-15 = 4-15 = -11. \end{aligned}
Agora obtenho p,q,t,u. Usei antes as relações:
\begin{aligned} p+q &= S-15 = 4-15 = -11,\\[4pt] p+t &= S-9 = 4-9 = -5,\\[4pt] p+u &= S-6 = 4-6 = -2. \end{aligned}
Também a coluna 4 dá, com x,y conhecidos,
x + y + q + u = S \quad\Rightarrow\quad -2 + (-11) + q + u = 4,
ou seja
q + u = 4 + 13 = 17.
Agora resolvo para p,q,t,u. A partir de p+q = -11 e q+u = 17 e p+u = -2, por exemplo subtrai p+q de p+u:
(p+u) - (p+q) = -2 - (-11) \quad\Rightarrow\quad u - q = 9.
Somando isso com q+u=17 temos:
(u - q) + (u + q) = 9 + 17 \quad\Rightarrow\quad 2u = 26 \quad\Rightarrow\quad u = 13.
Então
q = 17 - u = 17 - 13 = 4.
Agora p+q = -11
p = -11 - q = -11 - 4 = -15.
E p+t = -5
t = -5 - p = -5 - (-15) = 10.
Assim:
p = -15,\quad q = 4,\quad t = 10,\quad u = 13.]

Passo 7

Verificação rápida (sempre importante na prova): checar que todas as linhas, colunas e diagonais somam S=4.
Linhas:
\begin{aligned} \text{Linha 1: }&1+2+3+(-2)=4,\\\ \text{Linha 2: }&4+5+6+(-11)=4,\\\ \text{Linha 3: }&7+8+(-15)+4=4,\\\ \text{Linha 4: }&(-8)+(-11)+10+13=4. \end{aligned}
Colunas:
\begin{aligned} \text{Coluna 1: }&1+4+7+(-8)=4,\\\ \text{Coluna 2: }&2+5+8+(-11)=4,\\\ \text{Coluna 3: }&3+6+(-15)+10=4,\\\ \text{Coluna 4: }&(-2)+(-11)+4+13=4. \end{aligned}
Diagonais:
\begin{aligned} \text{Principal: }&1+5+(-15)+13=4,\\\ \text{Outra: }&(-2)+6+8+(-8)=4. \end{aligned}
Todas dão 4. Ótimo — solução consistente.

Resposta

\left[\begin{array}{cccc} 1 & 2 & 3 & -2\\[4pt] 4 & 5 & 6 & -11\\[4pt] 7 & 8 & -15 & 4\\[4pt] -8 & -11 & 10 & 13 \end{array}\right]]

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