Dadas as matrizes
A=\left[\begin{array}{ccc} 1 & -1 & 2 \\\\ 3 & 2 & -1 \end{array}\right], B=\left[\begin{array}{ccc} 2 & 3 & 0 \\\\ -2 & -3 & 1 \end{array}\right] \text { e } C=\left[\begin{array}{ccc} -4 & -8 & 4 \\\\ 12 & 13 & 1 \end{array}\right] .
(a) Calcule a matriz 3 A-2 B+C.
(b) Ache números \alpha e \beta, ambos diferentes de zero, tais que \alpha A+\beta B+C tenha a primeira coluna nula.

Passo 1

O enunciado dá três matrizes A, B e C e pede duas coisas:
  • (a) Calcular a matriz 3A-2B+C.
  • (b) Achar números \alpha e \beta, ambos diferentes de zero, tais que a primeira coluna de \alpha A+\beta B+C seja a coluna nula.
As matrizes fornecidas (peguei estes dados do enunciado) são:
A=\left[\begin{array}{ccc} 1 & -1 & 2 \\\\ 3 & 2 & -1 \end{array}\right],\qquad B=\left[\begin{array}{ccc} 2 & 3 & 0 \\\\ -2 & -3 & 1 \end{array}\right],\qquad C=\left[\begin{array}{ccc} -4 & -8 & 4 \\\\ 12 & 13 & 1 \end{array}\right].

Passo 2

Antes de calcular, um lembrete prático (aula curta): multiplicar uma matriz por um escalar significa multiplicar cada entrada por esse número; somar (ou subtrair) matrizes de mesma dimensão é feito somando (ou subtraindo) as entradas correspondentes elemento a elemento. Logo, para 3A-2B+C vamos:
  • calcular 3A multiplicando cada entrada de A por 3;
  • calcular 2B multiplicando cada entrada de B por 2;
  • subtrair 2B de 3A elemento a elemento;
  • somar C ao resultado elemento a elemento.

Passo 3

Calculemos 3A (multiplicando cada entrada de A por 3):
3A=\left[\begin{array}{ccc} 3\cdot 1 & 3\cdot(-1) & 3\cdot 2 \\\\ 3\cdot 3 & 3\cdot 2 & 3\cdot(-1) \end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc} 3 & -3 & 6 \\\\ 9 & 6 & -3 \end{array}\right].

Passo 4

Calculemos 2B (multiplicando cada entrada de B por 2):
2B=\left[\begin{array}{ccc} 2\cdot 2 & 2\cdot 3 & 2\cdot 0 \\\\ 2\cdot(-2) & 2\cdot(-3) & 2\cdot 1 \end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc} 4 & 6 & 0 \\\\ -4 & -6 & 2 \end{array}\right].

Passo 5

Agora subtraímos 2B de 3A elemento a elemento:
3A-2B= \left[\begin{array}{ccc} 3-4 & -3-6 & 6-0 \\\\ 9-(-4) & 6-(-6) & -3-2 \end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc} -1 & -9 & 6 \\\\ 13 & 12 & -5 \end{array}\right].

Passo 6

Finalmente somamos C ao resultado anterior, entrada a entrada:
3A-2B+C= \left[\begin{array}{ccc} -1+(-4) & -9+(-8) & 6+4 \\\\ 13+12 & 12+13 & -5+1 \end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc} -5 & -17 & 10 \\\\ 25 & 25 & -4 \end{array}\right].
Isso responde a parte (a).

Passo 7

Agora a parte (b). A condição “a primeira coluna de \alpha A+\beta B+C seja nula” significa, em palavras de álgebra de matrizes, que a combinação linear das primeiras colunas de A, B e C com coeficientes \alpha, \beta e 1 resulte no vetor nulo. Vou pegar do enunciado as primeiras colunas de cada matriz:
  • primeira coluna de A é \left[\begin{smallmatrix}1\\[2pt]3\end{smallmatrix}\right) (peguei da matriz A);
  • primeira coluna de B é \left[\begin{smallmatrix}2\\[2pt]-2\end{smallmatrix}\right) (peguei da matriz B);
  • primeira coluna de C é \left[\begin{smallmatrix}-4\\[2pt]12\end{smallmatrix}\right) (peguei da matriz C).
Desejamos:
\alpha\left[\begin{array}{c}1\\[2pt]3\end{array}\right] +\beta\left[\begin{array}{c}2\\[2pt]-2\end{array}\right] +\left[\begin{array}{c}-4\\[2pt]12\end{array}\right] = \left[\begin{array}{c}0\\[2pt]0\end{array}\right].]

Passo 8

Escrevendo as duas equações escalares (uma por linha) obtemos o sistema:
\begin{cases} \alpha + 2\beta -4 = 0,\\[4pt] 3\alpha -2\beta +12 = 0. \end{cases}
Vou resolver por substituição. Da primeira equação:
\alpha = 4-2\beta.
Substituo na segunda:
3(4-2\beta)-2\beta+12=0.
Calcule passo a passo:
12-6\beta-2\beta+12=0 \quad\Rightarrow\quad 24-8\beta=0.
Assim
-8\beta=-24 \quad\Rightarrow\quad \beta=3.
Agora volto em \alpha=4-2\beta:
\alpha=4-2\cdot 3=4-6=-2.]

Passo 9

Verificação rápida (conferir que ambas são não nulas e que a primeira coluna realmente fica zero): \alpha=-2 e \beta=3 são ambos diferentes de zero. Substituindo nas combinações da primeira coluna:
-2\left[\begin{array}{c}1\\[2pt]3\end{array}\right] +3\left[\begin{array}{c}2\\[2pt]-2\end{array}\right] +\left[\begin{array}{c}-4\\[2pt]12\end{array}\right] = \left[\begin{array}{c}-2+6-4\\[2pt]-6-6+12\end{array}\right] = \left[\begin{array}{c}0\\[2pt]0\end{array}\right],
confirmando que a primeira coluna fica nula.]

Resposta

(a) \displaystyle\left[\begin{array}{ccc}-5 & -17 & 10 \\[4pt]25 & 25 & -4\end{array}\right]
(b) \displaystyle \alpha=-2,\quad \beta=3]

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