Q12: Seja S o conjunto dos \left(x_{1}, \ldots, x_{13}\right) \in \mathbb{R}^{13} tais que:
\left\{\begin{aligned} x_{11} & =x_{10} \\\ x_{1} & =x_{12} \\\ x_{11}-x_{1} & =x_{10}-x_{12} \end{aligned}\right.
A dimensão de S é:
(A) 10
(B) 9
(C) 12
(D) 11
(E) 2
(F) 13
(G) 3
(H) 4

Passo 1

O enunciado dá o conjunto S dos \left(x_{1},\ldots,x_{13}\right)\in\mathbb{R}^{13} que satisfazem as três igualdades:
\begin{aligned} x_{11} &= x_{10},\\[4pt] x_{1} &= x_{12},\\[4pt] x_{11}-x_{1} &= x_{10}-x_{12}. \end{aligned}
A pergunta é: qual é a dimensão de S? (Foram fornecidas as 13 coordenadas x_{1},\dots,x_{13} e as três equações acima.)]

Passo 2

Escrevo cada equação em forma linear homogênea (igual a zero) para ver dependências:
\begin{aligned} x_{11}-x_{10}&=0,\\[4pt] x_{1}-x_{12}&=0,\\[4pt] x_{11}-x_{1}-x_{10}+x_{12}&=0. \end{aligned}]

Passo 3

Verifico se a terceira equação é independente das duas primeiras. Calculo a combinação
(x_{11}-x_{10})-(x_{1}-x_{12}) = x_{11}-x_{10}-x_{1}+x_{12}=x_{11}-x_{1}-x_{10}+x_{12},
que é exatamente a expressão da terceira equação. Portanto a terceira equação é uma combinação linear das duas primeiras e não adiciona restrição nova: ela é redundante.

Passo 4

Concluo que, entre as três equações dadas, há apenas 2 equações lineares independentes. Essas duas restrições lineares definem um subespaço linear de \mathbb{R}^{13} com codimensão 2.

Passo 5

Recordando a ideia (explicada de forma simples): se um subespaço de \mathbb{R}^{n} é definido por r equações lineares independentes, a dimensão do subespaço é n-r. Aqui n=13 e r=2, logo a dimensão é
13-2=11.

Passo 6

Para ficar bem concreto, posso parametrizar as soluções: tomo como variáveis livres os parâmetros
\,x_{1},x_{2},\dots,x_{10},x_{13}\, (são 11 parâmetros livres) e expresso as coordenadas dependentes por
x_{11}=x_{10},\qquad x_{12}=x_{1}.
Assim todo vetor em S tem a forma
\big(x_{1},x_{2},\dots,x_{10},x_{11},x_{12},x_{13}\big) = \big(x_{1},x_{2},\dots,x_{10},x_{10},x_{1},x_{13}\big),
confirmando que há 11 graus de liberdade.

Resposta

(D) 11

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