Q8: Considere
e os sistemas lineares representados pelas suas matrizes aumentadas:
Considere as afirmativas abaixo:
I. Se
é LD, então
tem infinitas soluções.
II. Se
é LI, então
não tem solução.
III. Se
é LD, então
tem infinitas solução.
(A) Só I e III são verdadeiras.
(B) Só II é verdadeira.
(C) Só I e II são verdadeiras.
(D) Todas são falsas.
(E) Só II e III são verdadeiras.
(F) Só I é verdadeira.
(G) Só III é verdadeira.
(H) Todas são verdadeiras.
I. Se
II. Se
III. Se
(A) Só I e III são verdadeiras.
(B) Só II é verdadeira.
(C) Só I e II são verdadeiras.
(D) Todas são falsas.
(E) Só II e III são verdadeiras.
(F) Só I é verdadeira.
(G) Só III é verdadeira.
(H) Todas são verdadeiras.
Passo 1
O enunciado nos dá:
-
. - Dois sistemas representados pelas matrizes aumentadas:
-
, que corresponde ao sistema
-
, que corresponde ao sistema
-
O que se pede: analisar a veracidade das afirmativas
I. Se é LD, então
tem infinitas soluções.
II. Se é LI, então
não tem solução.
III. Se é LD, então
tem infinitas solução.
I. Se
II. Se
III. Se
Passo 2
Primeiro, lembrar (de forma prática e direta) o que dizem as definições usadas:
- Dizer que
é linearmente dependente (LD) significa que existem escalares , nem todos nulos, tais que Ou seja, existe uma combinação linear não-trivial que dá o vetor nulo. - Dizer que
é linearmente independente (LI) significa que a única solução da equação acima é .
Também traduzir os sistemas em palavras:
-
é o sistema homogêneo com incógnitas . -
é um sistema cuja incógnitas são ; ele tem solução se, e só se, estiver no span de .
Passo 3
Análise da afirmativa I: “Se
é LD, então
tem infinitas soluções.”
Raciocínio passo a passo:
- Se
é LD existe tal que Assim é uma solução NÃO-TRIVIAL do sistema homogêneo . - Para qualquer escalar
, também satisfaz logo é outra solução. Como há infinitos escalares , obtemos infinitas soluções. - Portanto I é verdadeira.
Observação didática curta: todo sistema homogêneo cuja solução não é apenas a trivial gera uma família infinita de soluções (multiplicação por escalares), então “não-trivial” ⇨ “infinitas soluções”.
Passo 4
Análise da afirmativa II: “Se
é LI, então
não tem solução.”
Raciocínio passo a passo:
-
tem solução exatamente quando existe tal que isto é, quando . - Se
estivesse em , então haveria escalares com . Rearranjando, o que seria uma combinação não-trivial que zera os vetores, mostrando dependência linear de . - Portanto, se
é LI necessariamente , e daí não tem solução. - Conclusão: II é verdadeira.
Passo 5
Análise da afirmativa III: “Se
é LD, então
tem infinitas solução.”
Raciocínio passo a passo e contraexemplo:
- A dependência de
só garante que alguma combinação não-trivial dos três vetores seja zero. Há duas possibilidades importantes para estruturar os vetores: - Pode acontecer que
seja combinação linear de e . Nesse caso tem pelo menos uma solução. - Pode acontecer que
e sejam linearmente dependentes entre si (por exemplo ) e pertença ao mesmo span, o que pode produzir infinitas soluções para .
- Pode acontecer que
- Mas a dependência de
NÃO obriga que a solução de , quando existir, seja infinita: pode ser única. Exemplo concreto (contraponto): - Tome em
- Aqui
é LD porque (combinação não-trivial). - O sistema
é que exige e . Como e são LI, essa representação é única, logo tem exatamente uma solução (não infinita).
- Tome em
- Assim, III é falsa em geral: dependência de
pode levar tanto a uma solução única de quanto a infinitas soluções ou nenhuma, dependendo da relação entre e e de como está no span.
Passo 6
Resumo das verificações:
- I é verdadeira.
- II é verdadeira.
- III é falsa.
Portanto a opção correta é a que diz “Só I e II são verdadeiras.”
Resposta
(C) Só I e II são verdadeiras.