Q8: Considere \beta=\left\{\vec{v}_{1}, \vec{v}_{2}, \vec{v}_{3}\right\} \subset \mathbb{R}^{6} e os sistemas lineares representados pelas suas matrizes aumentadas:
S_{1}:\left[\begin{array}{lll} \vec{v}_{1} & \vec{v}_{2} & \vec{v}_{3} \mid \overrightarrow{0} \end{array}\right] \quad \text { e } \quad S_{2}:\left[\begin{array}{ll} \vec{v}_{1} & \vec{v}_{2} \mid \vec{v}_{3} \end{array}\right] .
Considere as afirmativas abaixo:
I. Se \beta é LD, então S_{1} tem infinitas soluções.
II. Se \beta é LI, então S_{2} não tem solução.
III. Se \beta é LD, então S_{2} tem infinitas solução.
(A) Só I e III são verdadeiras.
(B) Só II é verdadeira.
(C) Só I e II são verdadeiras.
(D) Todas são falsas.
(E) Só II e III são verdadeiras.
(F) Só I é verdadeira.
(G) Só III é verdadeira.
(H) Todas são verdadeiras.

Passo 1

O enunciado nos dá:
  • \beta=\{\vec{v}_{1},\vec{v}_{2},\vec{v}_{3}\}\subset\mathbb{R}^{6}.
  • Dois sistemas representados pelas matrizes aumentadas:
    • S_{1}:\left[\begin{array}{lll}\vec{v}_{1} & \vec{v}_{2} & \vec{v}_{3} \mid \overrightarrow{0}\end{array}\right], que corresponde ao sistema
      \;x_{1}\vec{v}_{1}+x_{2}\vec{v}_{2}+x_{3}\vec{v}_{3}=\overrightarrow{0}.
    • S_{2}:\left[\begin{array}{ll}\vec{v}_{1} & \vec{v}_{2} \mid \vec{v}_{3}\end{array}\right], que corresponde ao sistema
      \;x_{1}\vec{v}_{1}+x_{2}\vec{v}_{2}=\vec{v}_{3}.
O que se pede: analisar a veracidade das afirmativas
I. Se \beta é LD, então S_{1} tem infinitas soluções.
II. Se \beta é LI, então S_{2} não tem solução.
III. Se \beta é LD, então S_{2} tem infinitas solução.

Passo 2

Primeiro, lembrar (de forma prática e direta) o que dizem as definições usadas:
  • Dizer que \beta é linearmente dependente (LD) significa que existem escalares a,b,c, nem todos nulos, tais que a\vec{v}_{1}+b\vec{v}_{2}+c\vec{v}_{3}=\overrightarrow{0}.Ou seja, existe uma combinação linear não-trivial que dá o vetor nulo.
  • Dizer que \beta é linearmente independente (LI) significa que a única solução da equação acima é a=b=c=0.
Também traduzir os sistemas em palavras:
  • S_{1} é o sistema homogêneo com incógnitas x_{1},x_{2},x_{3}.
  • S_{2} é um sistema cuja incógnitas são x_{1},x_{2}; ele tem solução se, e só se, \vec{v}_{3} estiver no span de \{\vec{v}_{1},\vec{v}_{2}\}.

Passo 3

Análise da afirmativa I: “Se \beta é LD, então S_{1} tem infinitas soluções.”
Raciocínio passo a passo:
  • Se \beta é LD existe (a,b,c)\neq(0,0,0) tal que a\vec{v}_{1}+b\vec{v}_{2}+c\vec{v}_{3}=\overrightarrow{0}.Assim (a,b,c) é uma solução NÃO-TRIVIAL do sistema homogêneo S_{1}.
  • Para qualquer escalar t\in\mathbb{R}, t(a,b,c) também satisfaz t a\vec{v}_{1}+t b\vec{v}_{2}+t c\vec{v}_{3}=\overrightarrow{0},logo é outra solução. Como há infinitos escalares t, obtemos infinitas soluções.
  • Portanto I é verdadeira.
Observação didática curta: todo sistema homogêneo cuja solução não é apenas a trivial gera uma família infinita de soluções (multiplicação por escalares), então “não-trivial” ⇨ “infinitas soluções”.

Passo 4

Análise da afirmativa II: “Se \beta é LI, então S_{2} não tem solução.”
Raciocínio passo a passo:
  • S_{2} tem solução exatamente quando existe (x_{1},x_{2}) tal que x_{1}\vec{v}_{1}+x_{2}\vec{v}_{2}=\vec{v}_{3},isto é, quando \vec{v}_{3}\in\operatorname{span}\{\vec{v}_{1},\vec{v}_{2}\}.
  • Se \vec{v}_{3} estivesse em \operatorname{span}\{\vec{v}_{1},\vec{v}_{2}\}, então haveria escalares x_{1},x_{2} com \vec{v}_{3}=x_{1}\vec{v}_{1}+x_{2}\vec{v}_{2}. Rearranjando, (-x_{1})\vec{v}_{1}+(-x_{2})\vec{v}_{2}+1\cdot\vec{v}_{3}=\overrightarrow{0},o que seria uma combinação não-trivial que zera os vetores, mostrando dependência linear de \beta.
  • Portanto, se \beta é LI necessariamente \vec{v}_{3}\notin\operatorname{span}\{\vec{v}_{1},\vec{v}_{2}\}, e daí S_{2} não tem solução.
  • Conclusão: II é verdadeira.

Passo 5

Análise da afirmativa III: “Se \beta é LD, então S_{2} tem infinitas solução.”
Raciocínio passo a passo e contraexemplo:
  • A dependência de \beta só garante que alguma combinação não-trivial dos três vetores seja zero. Há duas possibilidades importantes para estruturar os vetores:
    1. Pode acontecer que \vec{v}_{3} seja combinação linear de \vec{v}_{1} e \vec{v}_{2}. Nesse caso S_{2} tem pelo menos uma solução.
    2. Pode acontecer que \vec{v}_{1} e \vec{v}_{2} sejam linearmente dependentes entre si (por exemplo \vec{v}_{2}=\lambda\vec{v}_{1}) e \vec{v}_{3} pertença ao mesmo span, o que pode produzir infinitas soluções para S_{2}.
  • Mas a dependência de \beta NÃO obriga que a solução de S_{2}, quando existir, seja infinita: pode ser única. Exemplo concreto (contraponto):
    • Tome em \mathbb{R}^{6}
      \displaystyle \vec{v}_{1}=(1,0,0,0,0,0),
      \displaystyle \vec{v}_{2}=(0,1,0,0,0,0),
      \displaystyle \vec{v}_{3}=(1,1,0,0,0,0)=\vec{v}_{1}+\vec{v}_{2}.
    • Aqui \beta é LD porque \vec{v}_{1}+\vec{v}_{2}-\vec{v}_{3}=\overrightarrow{0} (combinação não-trivial).
    • O sistema S_{2} é x_{1}\vec{v}_{1}+x_{2}\vec{v}_{2}=\vec{v}_{3},que exige x_{1}=1 e x_{2}=1. Como \vec{v}_{1} e \vec{v}_{2} são LI, essa representação é única, logo S_{2} tem exatamente uma solução (não infinita).
  • Assim, III é falsa em geral: dependência de \beta pode levar tanto a uma solução única de S_{2} quanto a infinitas soluções ou nenhuma, dependendo da relação entre \vec{v}_{1} e \vec{v}_{2} e de como \vec{v}_{3} está no span.

Passo 6

Resumo das verificações:
  • I é verdadeira.
  • II é verdadeira.
  • III é falsa.
Portanto a opção correta é a que diz “Só I e II são verdadeiras.”

Resposta

(C) Só I e II são verdadeiras.

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