Q11: Considere as afirmativas abaixo:
I. O conjunto de todos os polinômios de grau máximo 2 tais que p(5)=9+p(6) é um subespaço vetorial.
II. O conjunto-solução de um sistema linear homogêneo é um subespaço vetorial.
III. O conjunto de todos \vec{v} \in \mathbb{R}^{8} tais que todas entradas de A \vec{v} são positivas, onde A é uma matriz 3 \times 8 é um subespaço vetorial.
(A) Só III é verdadeira.
(B) Só II e III são verdadeiras.
(C) Todas são falsas.
(D) Só I é verdadeira.
(E) Só I e III são verdadeiras.
(F) Só I e II são verdadeiras.
(G) Todas são verdadeiras.
(H) Só II é verdadeira.

Passo 1

O enunciado apresenta três afirmativas e pede que eu identifique quais são verdadeiras (ou falsas). As afirmativas são:
I. O conjunto de todos os polinômios de grau máximo 2 tais que p(5)=9+p(6) é um subespaço vetorial.
II. O conjunto-solução de um sistema linear homogêneo é um subespaço vetorial.
III. O conjunto de todos \vec{v}\in\mathbb{R}^{8} tais que todas as entradas de A\vec{v} são positivas, onde A é uma matriz 3\times 8, é um subespaço vetorial.
O que é pedido: determinar quais das afirmativas I, II, III são verdadeiras e escolher a alternativa correta entre (A)–(H).
Informações dadas relevantes: condições que definem cada conjunto (uma equação entre valores de polinômios em pontos, a equação homogênea A\vec{x}=\vec{0}, e a condição de positividade estrita das entradas de A\vec{v}). Não há valores numéricos específicos de A nem de polinômios além das condições escritas.

Passo 2

Lembrete/definição útil (a “aula rápida”): o que significa ser um subespaço vetorial de um espaço vetorial V.
  • Um subconjunto W\subseteq V é subespaço vetorial se e somente se satisfaça três propriedades equivalentes práticas:
    1. \vec{0}\in W (o vetor zero do espaço V pertence a W);
    2. W é fechado sob adição: se \vec{u}\in W e \vec{v}\in W então \vec{u}+\vec{v}\in W;
    3. W é fechado sob multiplicação escalar: se \vec{u}\in W e c\in\mathbb{R} então c\vec{u}\in W.
Essas três condições são necessárias e suficientes. Uma maneira rápida de descartar que um conjunto seja subespaço é checar que o vetor zero não pertence ao conjunto. Outra maneira é mostrar que falta fechamento por soma ou por multiplicação escalar (basta um contraexemplo).
Vou usar essas condições passo a passo para cada afirmativa.

Passo 3

Análise da afirmativa I.
Conjunto descrito: \mathcal{P}=\{\,p\in\mathbb{P}_2 \mid p(5)=9+p(6)\,\}, onde \mathbb{P}_2 é o espaço dos polinômios com grau no máximo 2.
Verificação simples: testar se o polinômio zero pertence a \mathcal{P}.
  • O polinômio zero p(x)\equiv 0 satisfaz p(5)=0 e p(6)=0. A condição pede p(5)=9+p(6), isto é 0 = 9 + 0, ou seja 0 = 9, que é falsa.
Portanto p\equiv 0\notin\mathcal{P}. Como todo subespaço deve conter o vetor zero, isso é suficiente para concluir que \mathcal{P} NÃO é subespaço vetorial.
Comentário didático curto: sempre que uma condição impõe uma constante não nula (aqui o 9) numa relação do tipo valor em pontos, é muito comum que o zero seja excluído e o conjunto não seja subespaço. Conclusão: I é falsa.

Passo 4

Análise da afirmativa II.
Conjunto descrito: o conjunto-solução de um sistema linear homogêneo A\vec{x}=\vec{0} (onde A é qualquer matriz m\times n).
Prova de que é subespaço (passo a passo, bem didático):
  • Denote S=\{\,\vec{x}\in\mathbb{R}^n \mid A\vec{x}=\vec{0}\,\}.
  • Verificar presença do vetor zero: A\vec{0}=\vec{0}, então \vec{0}\in S.
  • Verificar fechamento sob soma: tome \vec{u},\vec{v}\in S. Então A\vec{u}=\vec{0} e A\vec{v}=\vec{0}. Pela linearidade da multiplicação matricial, A(\vec{u}+\vec{v})=A\vec{u}+A\vec{v}=\vec{0}+\vec{0}=\vec{0},logo \vec{u}+\vec{v}\in S.
  • Verificar fechamento sob multiplicação escalar: tome c\in\mathbb{R} e \vec{u}\in S. Então A(c\vec{u})=c(A\vec{u})=c\vec{0}=\vec{0},portanto c\vec{u}\in S.
Como as três propriedades valem, S é um subespaço vetorial.
Comentário didático: é a propriedade clássica — o conjunto das soluções homogêneas forma o chamado “núcleo” ou “kernel” da transformação linear T(\vec{x})=A\vec{x}, e o núcleo é sempre subespaço. Conclusão: II é verdadeira.

Passo 5

Análise da afirmativa III.
Conjunto descrito: T=\{\,\vec{v}\in\mathbb{R}^{8}\mid\text{todas as entradas de }A\vec{v}\text{ são positivas}\,\}ã, ou seja cada componente de A\vec{v} é >0.
Testes rápidos usando as condições de subespaço:
  • Verificar presença do vetor zero: A\vec{0}=\vec{0}. As entradas de \vec{0} são 0, que NÃO são positivas (pois positivo significa >0). Logo \vec{0}\notin T. Isso já é suficiente para concluir que T NÃO é subespaço vetorial.
Outra razão intuitiva (complementar): suponha exista \vec{v}\in T. Então todas as entradas de A\vec{v} são >0. Se T fosse subespaço, então também (-1)\vec{v} deveria pertencer a T. Mas A(-\vec{v})=-A\vec{v} tem todas as entradas <0, não positivas, então falha a multiplicação escalar por c=-1. Isso mostra a falta de fechamento sob multiplicação escalar. Portanto III é falsa.
Comentário didático: exigir que imagens tenham todas entradas estritamente positivas é uma condição não linear em relação a multiplicação por escalares (negativos quebram), portanto não compatível com estrutura de subespaço.

Passo 6

Resumo das verdades/falsidades obtidas:
  • I é falsa.
  • II é verdadeira.
  • III é falsa.
Procurar na lista de alternativas qual corresponde a “Só II é verdadeira”. A alternativa que diz isso é a letra (H).

Resposta

(H)

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