Q11: Considere as afirmativas abaixo:
I. O conjunto de todos os polinômios de grau máximo 2 tais que
é um subespaço vetorial.
II. O conjunto-solução de um sistema linear homogêneo é um subespaço vetorial.
III. O conjunto de todos
tais que todas entradas de
são positivas, onde
é uma matriz
é um subespaço vetorial.
(A) Só III é verdadeira.
(B) Só II e III são verdadeiras.
(C) Todas são falsas.
(D) Só I é verdadeira.
(E) Só I e III são verdadeiras.
(F) Só I e II são verdadeiras.
(G) Todas são verdadeiras.
(H) Só II é verdadeira.
I. O conjunto de todos os polinômios de grau máximo 2 tais que
II. O conjunto-solução de um sistema linear homogêneo é um subespaço vetorial.
III. O conjunto de todos
(A) Só III é verdadeira.
(B) Só II e III são verdadeiras.
(C) Todas são falsas.
(D) Só I é verdadeira.
(E) Só I e III são verdadeiras.
(F) Só I e II são verdadeiras.
(G) Todas são verdadeiras.
(H) Só II é verdadeira.
Passo 1
O enunciado apresenta três afirmativas e pede que eu identifique quais são verdadeiras (ou falsas). As afirmativas são:
I. O conjunto de todos os polinômios de grau máximo 2 tais que
é um subespaço vetorial.
II. O conjunto-solução de um sistema linear homogêneo é um subespaço vetorial.
III. O conjunto de todos
tais que todas as entradas de
são positivas, onde
é uma matriz
, é um subespaço vetorial.
O que é pedido: determinar quais das afirmativas I, II, III são verdadeiras e escolher a alternativa correta entre (A)–(H).
Informações dadas relevantes: condições que definem cada conjunto (uma equação entre valores de polinômios em pontos, a equação homogênea
, e a condição de positividade estrita das entradas de
). Não há valores numéricos específicos de
nem de polinômios além das condições escritas.
Passo 2
Lembrete/definição útil (a “aula rápida”): o que significa ser um subespaço vetorial de um espaço vetorial
.
- Um subconjunto
é subespaço vetorial se e somente se satisfaça três propriedades equivalentes práticas: -
(o vetor zero do espaço pertence a ); -
é fechado sob adição: se e então ; -
é fechado sob multiplicação escalar: se e então .
-
Essas três condições são necessárias e suficientes. Uma maneira rápida de descartar que um conjunto seja subespaço é checar que o vetor zero não pertence ao conjunto. Outra maneira é mostrar que falta fechamento por soma ou por multiplicação escalar (basta um contraexemplo).
Vou usar essas condições passo a passo para cada afirmativa.
Passo 3
Análise da afirmativa I.
Conjunto descrito:
, onde
é o espaço dos polinômios com grau no máximo
.
Verificação simples: testar se o polinômio zero pertence a
.
- O polinômio zero
satisfaz e . A condição pede , isto é , ou seja , que é falsa.
Portanto
. Como todo subespaço deve conter o vetor zero, isso é suficiente para concluir que
NÃO é subespaço vetorial.
Comentário didático curto: sempre que uma condição impõe uma constante não nula (aqui o
) numa relação do tipo valor em pontos, é muito comum que o zero seja excluído e o conjunto não seja subespaço. Conclusão: I é falsa.
Passo 4
Análise da afirmativa II.
Conjunto descrito: o conjunto-solução de um sistema linear homogêneo
(onde
é qualquer matriz
).
Prova de que é subespaço (passo a passo, bem didático):
- Denote
. - Verificar presença do vetor zero:
, então . - Verificar fechamento sob soma: tome
. Então e . Pela linearidade da multiplicação matricial, logo . - Verificar fechamento sob multiplicação escalar: tome
e . Então portanto .
Como as três propriedades valem,
é um subespaço vetorial.
Comentário didático: é a propriedade clássica — o conjunto das soluções homogêneas forma o chamado “núcleo” ou “kernel” da transformação linear
, e o núcleo é sempre subespaço. Conclusão: II é verdadeira.
Passo 5
Análise da afirmativa III.
Conjunto descrito:
, ou seja cada componente de
é
.
Testes rápidos usando as condições de subespaço:
- Verificar presença do vetor zero:
. As entradas de são , que NÃO são positivas (pois positivo significa ). Logo . Isso já é suficiente para concluir que NÃO é subespaço vetorial.
Outra razão intuitiva (complementar): suponha exista
. Então todas as entradas de
são
. Se
fosse subespaço, então também
deveria pertencer a
. Mas
tem todas as entradas
, não positivas, então falha a multiplicação escalar por
. Isso mostra a falta de fechamento sob multiplicação escalar. Portanto III é falsa.
Comentário didático: exigir que imagens tenham todas entradas estritamente positivas é uma condição não linear em relação a multiplicação por escalares (negativos quebram), portanto não compatível com estrutura de subespaço.
Passo 6
Resumo das verdades/falsidades obtidas:
- I é falsa.
- II é verdadeira.
- III é falsa.
Procurar na lista de alternativas qual corresponde a “Só II é verdadeira”. A alternativa que diz isso é a letra (H).
Resposta
(H)