A dimensão de S é:
(A) 13
(B) 11
(C) 2
(D) 9
(E) 4
(F) 10
(G) 12
Passo 1
O enunciado define o conjunto S\) de vetores \(\left(x_{1},\dots,x_{13}\right)\in\mathbb{R}^{13}\) que satisfazem as três equações:
\[\begin{cases} x_{8}=x_{12},\\[4pt] x_{13}=x_{6},\\[4pt] x_{8}-x_{13}=x_{12}-x_{6}. \end{cases}
A pergunta é: qual é a dimensão do subespaço (S]?
Informações importantes fornecidas:
O espaço ambiente é \mathbb{R}^{13} (portanto há 13 coordenadas/variáveis).
Há três equações lineares entre essas coordenadas (mas elas podem ser dependentes entre si).]
Passo 2
Ideia geral (fórmula e conceito): S é o espaço solução de um sistema linear homogêneo com 13 variáveis. Se a matriz das equações tiver posto (rank) r, então a dimensão do espaço solução é
\dim(S)=13-\mathrm{rank}(A).
Explicação curta: cada equação linear independente impõe uma restrição que reduz uma liberdade; com r restrições independentes sobra 13-r graus de liberdade.
Passo 3
Colocar as três equações em forma linear homogênea (subtraindo o lado direito quando necessário):
que é exatamente a terceira equação escrita acima. Portanto a terceira equação é a diferença da primeira pela segunda, isto é, ela é combinação linear das duas primeiras e não adiciona nova informação.
Conclusão desta análise: entre as três equações só há 2 equações linearmente independentes, logo \mathrm{rank}(A)=2.
Passo 5
Aplicar a fórmula da dimensão do espaço solução:
\dim(S)=13-\mathrm{rank}(A)=13-2=11.
Interpretação prática: podemos escolher livremente 11 coordenadas (por exemplo todas as coordenadas exceto x_{8} e x_{13}), e então determinar x_{8}=x_{12} e x_{13}=x_{6}. Logo há 11 graus de liberdade.