Q12: Seja S o conjunto dos \left(x_{1}, \ldots, x_{13}\right) \in \mathbb{R}^{13} tais que:
\left\{\begin{array}{c} x_{8}=x_{12} \\\ x_{13}=x_{6} \\\ x_{8}-x_{13}=x_{12}-x_{6} \end{array}\right.
A dimensão de S é:
(A) 13
(B) 11
(C) 2
(D) 9
(E) 4
(F) 10
(G) 12

Passo 1

O enunciado define o conjunto S\) de vetores \(\left(x_{1},\dots,x_{13}\right)\in\mathbb{R}^{13}\) que satisfazem as três equações: \[\begin{cases} x_{8}=x_{12},\\[4pt] x_{13}=x_{6},\\[4pt] x_{8}-x_{13}=x_{12}-x_{6}. \end{cases}
A pergunta é: qual é a dimensão do subespaço (S]?
Informações importantes fornecidas:
  • O espaço ambiente é \mathbb{R}^{13} (portanto há 13 coordenadas/variáveis).
  • Há três equações lineares entre essas coordenadas (mas elas podem ser dependentes entre si).]

Passo 2

Ideia geral (fórmula e conceito): S é o espaço solução de um sistema linear homogêneo com 13 variáveis. Se a matriz das equações tiver posto (rank) r, então a dimensão do espaço solução é
\dim(S)=13-\mathrm{rank}(A).
Explicação curta: cada equação linear independente impõe uma restrição que reduz uma liberdade; com r restrições independentes sobra 13-r graus de liberdade.

Passo 3

Colocar as três equações em forma linear homogênea (subtraindo o lado direito quando necessário):
\begin{aligned} &x_{8}-x_{12}=0,\\[4pt] &x_{13}-x_{6}=0,\\[4pt] &x_{8}-x_{13}-x_{12}+x_{6}=0. \end{aligned}
Estas são três equações lineares nas 13 variáveis.]

Passo 4

Verificar se as três equações são independentes. Calcule a combinação
\bigl(x_{8}-x_{12}\bigr)\;-\;\bigl(x_{13}-x_{6}\bigr)
que dá
x_{8}-x_{12}-x_{13}+x_{6}=0,
que é exatamente a terceira equação escrita acima. Portanto a terceira equação é a diferença da primeira pela segunda, isto é, ela é combinação linear das duas primeiras e não adiciona nova informação.
Conclusão desta análise: entre as três equações só há 2 equações linearmente independentes, logo \mathrm{rank}(A)=2.

Passo 5

Aplicar a fórmula da dimensão do espaço solução:
\dim(S)=13-\mathrm{rank}(A)=13-2=11.
Interpretação prática: podemos escolher livremente 11 coordenadas (por exemplo todas as coordenadas exceto x_{8} e x_{13}), e então determinar x_{8}=x_{12} e x_{13}=x_{6}. Logo há 11 graus de liberdade.

Resposta

(B) \,11

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