Q13: Determine a dimensão de
\operatorname{span}\left\{\left[\begin{array}{r}1 \\\\ -3 \\\\ 1 \\\\ 3\end{array}\right],\left[\begin{array}{r}0 \\\\ -2 \\\\ 2 \\\\ 1\end{array}\right],\left[\begin{array}{r}-1 \\\\ -1 \\\\ 3 \\\\ -1\end{array}\right],\left[\begin{array}{r}-2 \\\\ 4 \\\\ 0 \\\\ -5\end{array}\right]\right\}.
(A) 0
(B) 1
(C) 2
(D) 3
(E) 4

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede.
  • São dadas quatro vetores em \mathbb{R}^4:
v_1=\begin{pmatrix}1\\\ -3\\\ 1\\\ 3\end{pmatrix},\quad v_2=\begin{pmatrix}0\\\ -2\\\ 2\\\ 1\end{pmatrix},\quad v_3=\begin{pmatrix}-1\\\ -1\\\ 3\\\ -1\end{pmatrix},\quad v_4=\begin{pmatrix}-2\\\ 4\\\ 0\\\ -5\end{pmatrix}.
  • O enunciado pede a dimensão de \operatorname{span}\{v_1,v_2,v_3,v_4\}, ou seja, o número máximo de vetores linearmente independentes entre esses quatro (equivalente à posto/rank dos vetores).

Passo 2

Escolha do método e ideia principal (sem fórmulas complicadas).
  • Vou colocar os quatro vetores como colunas de uma matriz e calcular o posto dessa matriz por eliminação de Gauss (redução por linhas).
  • Justificativa curta: o espaço gerado pelas colunas tem dimensão igual ao número de colunas linearmente independentes, que é exatamente o posto (rank) da matriz. Operações elementares de linha (multiplicar por escalar não-zero, trocar linhas, somar múltiplos de linhas) não mudam o posto.

Passo 3

Montar a matriz cujas colunas são v_1,v_2,v_3,v_4.
A=\begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 & -2\\[4pt] -3 & -2 & -1 & 4\\[4pt] 1 & 2 & 3 & 0\\[4pt] 3 & 1 & -1 & -5 \end{pmatrix}.
Agora vamos aplicar eliminação de Gauss por linhas para encontrar quantas linhas não-nulas restam em forma escalonada (isso dá o posto).]

Passo 4

Primeiro pivô na posição (1,1) (que é 1). Eliminar entradas abaixo dele na coluna 1 usando combinações lineares:
  • R_2 \leftarrow R_2 + 3R_1. Cálculo componente a componente:
R_2 = (-3,-2,-1,4)+3(1,0,-1,-2)=(0,-2,-4,-2).
  • R_3 \leftarrow R_3 - R_1. Cálculo:
R_3 = (1,2,3,0)-(1,0,-1,-2)=(0,2,4,2).
  • R_4 \leftarrow R_4 - 3R_1. Cálculo:
R_4=(3,1,-1,-5)-3(1,0,-1,-2)=(0,1,2,1).
Após essas operações a matriz fica
\begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 & -2\\[4pt] 0 & -2 & -4 & -2\\[4pt] 0 & 2 & 4 & 2\\[4pt] 0 & 1 & 2 & 1 \end{pmatrix}.]

Passo 5

Observação antes de prosseguir: as linhas R_2,R_3,R_4 mostram relações claras: R_3 = -R_2 e R_4 = -\tfrac{1}{2}R_2. Vamos formalizar isso por operações: tomar como pivô a entrada (2,2) que é -2. Normalizar R_2 para facilitar:
R_2 \leftarrow -\tfrac{1}{2}R_2 = (0,1,2,1).
Agora a matriz é
\begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 & -2\\[4pt] 0 & 1 & 2 & 1\\[4pt] 0 & 2 & 4 & 2\\[4pt] 0 & 1 & 2 & 1 \end{pmatrix}.]

Passo 6

Eliminar as entradas abaixo do pivô em (2,2):
  • R_3 \leftarrow R_3 - 2R_2. Cálculo:
R_3=(0,2,4,2)-2(0,1,2,1)=(0,0,0,0).
  • R_4 \leftarrow R_4 - R_2. Cálculo:
R_4=(0,1,2,1)-(0,1,2,1)=(0,0,0,0).
Após isso a matriz em forma escalonada é
\begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 & -2\\[4pt] 0 & 1 & 2 & 1\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.]

Passo 7

Contagem de pivôs e conclusão sobre o posto/dimensão.
  • Há exatamente duas linhas não-nulas (pivôs nas colunas 1 e 2). Portanto o posto (rank) da matriz A é 2.
  • Como a dimensão de \operatorname{span}\{v_1,v_2,v_3,v_4\} é o posto das colunas dessa matriz, a dimensão do span é 2.

Resposta

(C) 2

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