Q14: Seja V um espaço vetorial de dimensão 7. Considere as afirmativas abaixo:
I. Existe subconjunto LI de V com 8 vetores.
II. Todo conjunto gerador de V com 7 vetores é uma base de V.
III. Nenhum subconjunto de V com 6 vetores gera V.
(A) Só I e III são verdadeiras.
(B) Só III é verdadeira.
(C) Só II e III são verdadeiras.
(D) Só I é verdadeira.
(E) Todas são verdadeiras.
(F) Só II é verdadeira.
(G) Todas são falsas.
(H) Só I e II são verdadeiras.

Passo 1

O enunciado dá que V é um espaço vetorial de dimensão 7. Precisamos avaliar a veracidade das três afirmativas:
I. Existe subconjunto linearmente independente (LI) de V com 8 vetores.
II. Todo conjunto gerador de V com 7 vetores é uma base de V.
III. Nenhum subconjunto de V com 6 vetores gera V.
O objetivo é dizer quais dessas afirmativas são verdadeiras e escolher a alternativa correta entre (A)–(H).

Passo 2

Vamos lembrar definições e fatos básicos que serão usados (explicados de forma simples):
  • Um conjunto de vetores é linearmente independente (LI) se nenhuma combinação linear não-trivial deles dá o vetor zero. Intuitivamente: nenhum vetor do conjunto pode ser escrito como combinação linear dos outros.
  • Um conjunto gera (ou é gerador de) V se as combinações lineares dos vetores do conjunto produzem todo V.
  • Uma base de V é um conjunto de vetores que é ao mesmo tempo LI e gera V.
  • A dimensão de V, denotada \dim(V), é o número de vetores em qualquer base de V. No nosso caso \dim(V)=7.
Fatos fundamentais (teoremas de álgebra linear finita) que usaremos e que vou explicar brevemente:
  1. Em um espaço vetorial finito de dimensão n, todo conjunto LI tem no máximo n vetores. Ou seja, se S é LI então |S|\le n. Raciocínio curto: qualquer conjunto LI pode ser estendido a uma base; bases têm n vetores, logo o conjunto LI não pode ter mais do que n.
  2. Em um espaço vetorial finito de dimensão n, todo conjunto gerador tem pelo menos n vetores. Ou seja, se G gera V então |G|\ge n. Raciocínio curto: qualquer conjunto gerador contém uma base (pode-se retirar vetores até sobrar uma base); essa base tem n vetores, então o gerador original não pode ter menos que n.
  3. Como consequência das duas anteriores: se um conjunto tem exatamente n vetores, então ele é base se e só se for LI, e é base se e só se gerar V. Em particular, qualquer conjunto gerador com n vetores é automaticamente LI e, portanto, é base; e qualquer conjunto LI com n vetores gera V e é base.
Vou ilustrar com um exemplo mental para fixar: em \mathbb{R}^3 ( \dim=3) não existe conjunto LI com 4 vetores (seria impossível), qualquer conjunto gerador precisa ter pelo menos 3 vetores, e qualquer conjunto gerador com exatamente 3 vetores é uma base (gera e é LI).

Passo 3

Aplicando o fato (1) ao nosso caso: como \dim(V)=7, todo conjunto LI de vetores de V tem no máximo 7 vetores. Portanto, um conjunto LI com 8 vetores não pode existir em V. Logo a afirmativa I é falsa. (Exemplo-analogia: em \mathbb{R}^3 não existe conjunto de 4 vetores LI.)

Passo 4

Agora a afirmativa II: “Todo conjunto gerador de V com 7 vetores é uma base de V.”
  • Pelo fato (2), qualquer conjunto gerador de V tem pelo menos 7 vetores. Se um conjunto gera V e tem exatamente 7 vetores (ou seja, igual à dimensão), então pela observação em (3) ele deve ser linearmente independente (caso contrário poderia-se remover vetores sem perder a geração, contradizendo que bases têm exatamente 7 elementos), portanto gera e é LI — isto é a definição de base. Assim, qualquer gerador com 7 vetores é de fato uma base. Conclusão: a afirmativa II é verdadeira.
(Explicação alternativa curta: todo conjunto gerador contém uma base; essa base tem 7 vetores; se o gerador já tem 7 vetores então ele coincide com essa base, logo é base.)

Passo 5

Agora a afirmativa III: “Nenhum subconjunto de V com 6 vetores gera V.”
  • Qualquer conjunto com 6 vetores gera um subespaço de dimensão no máximo 6 (a dimensão do espaço gerado não pode exceder o número de vetores). Como \dim(V)=7, esse subespaço não pode ser todo V. Portanto um conjunto com 6 vetores não pode gerar V. Conclusão: a afirmativa III é verdadeira.
(Analogia: em \mathbb{R}^3, dois vetores não geram todo \mathbb{R}^3 — no máximo geram uma reta ou um plano.)

Passo 6

Resumo das verdades das afirmativas:
  • I é falsa.
  • II é verdadeira.
  • III é verdadeira.
Portanto apenas II e III são verdadeiras. Isso corresponde à alternativa (C).

Resposta

(C)

Exercícios relacionados