Q14: Seja
um espaço vetorial de dimensão 7. Considere as afirmativas abaixo:
I. Existe subconjunto LI de
com 8 vetores.
II. Todo conjunto gerador de
com 7 vetores é uma base de
.
III. Nenhum subconjunto de
com 6 vetores gera
.
(A) Só I e III são verdadeiras.
(B) Só III é verdadeira.
(C) Só II e III são verdadeiras.
(D) Só I é verdadeira.
(E) Todas são verdadeiras.
(F) Só II é verdadeira.
(G) Todas são falsas.
(H) Só I e II são verdadeiras.
I. Existe subconjunto LI de
II. Todo conjunto gerador de
III. Nenhum subconjunto de
(A) Só I e III são verdadeiras.
(B) Só III é verdadeira.
(C) Só II e III são verdadeiras.
(D) Só I é verdadeira.
(E) Todas são verdadeiras.
(F) Só II é verdadeira.
(G) Todas são falsas.
(H) Só I e II são verdadeiras.
Passo 1
O enunciado dá que
é um espaço vetorial de dimensão
. Precisamos avaliar a veracidade das três afirmativas:
I. Existe subconjunto linearmente independente (LI) de com
vetores.
II. Todo conjunto gerador de com
vetores é uma base de
.
III. Nenhum subconjunto de com
vetores gera
.
I. Existe subconjunto linearmente independente (LI) de
II. Todo conjunto gerador de
III. Nenhum subconjunto de
O objetivo é dizer quais dessas afirmativas são verdadeiras e escolher a alternativa correta entre (A)–(H).
Passo 2
Vamos lembrar definições e fatos básicos que serão usados (explicados de forma simples):
- Um conjunto de vetores é linearmente independente (LI) se nenhuma combinação linear não-trivial deles dá o vetor zero. Intuitivamente: nenhum vetor do conjunto pode ser escrito como combinação linear dos outros.
- Um conjunto gera (ou é gerador de)
se as combinações lineares dos vetores do conjunto produzem todo . - Uma base de
é um conjunto de vetores que é ao mesmo tempo LI e gera . - A dimensão de
, denotada , é o número de vetores em qualquer base de . No nosso caso .
Fatos fundamentais (teoremas de álgebra linear finita) que usaremos e que vou explicar brevemente:
- Em um espaço vetorial finito de dimensão
, todo conjunto LI tem no máximo vetores. Ou seja, se é LI então . Raciocínio curto: qualquer conjunto LI pode ser estendido a uma base; bases têm vetores, logo o conjunto LI não pode ter mais do que . - Em um espaço vetorial finito de dimensão
, todo conjunto gerador tem pelo menos vetores. Ou seja, se gera então . Raciocínio curto: qualquer conjunto gerador contém uma base (pode-se retirar vetores até sobrar uma base); essa base tem vetores, então o gerador original não pode ter menos que . - Como consequência das duas anteriores: se um conjunto tem exatamente
vetores, então ele é base se e só se for LI, e é base se e só se gerar . Em particular, qualquer conjunto gerador com vetores é automaticamente LI e, portanto, é base; e qualquer conjunto LI com vetores gera e é base.
Vou ilustrar com um exemplo mental para fixar: em
(
) não existe conjunto LI com
vetores (seria impossível), qualquer conjunto gerador precisa ter pelo menos
vetores, e qualquer conjunto gerador com exatamente
vetores é uma base (gera e é LI).
Passo 3
Aplicando o fato (1) ao nosso caso: como
, todo conjunto LI de vetores de
tem no máximo
vetores. Portanto, um conjunto LI com
vetores não pode existir em
. Logo a afirmativa I é falsa. (Exemplo-analogia: em
não existe conjunto de
vetores LI.)
Passo 4
Agora a afirmativa II: “Todo conjunto gerador de
com
vetores é uma base de
.”
- Pelo fato (2), qualquer conjunto gerador de
tem pelo menos vetores. Se um conjunto gera e tem exatamente vetores (ou seja, igual à dimensão), então pela observação em (3) ele deve ser linearmente independente (caso contrário poderia-se remover vetores sem perder a geração, contradizendo que bases têm exatamente elementos), portanto gera e é LI — isto é a definição de base. Assim, qualquer gerador com vetores é de fato uma base. Conclusão: a afirmativa II é verdadeira.
(Explicação alternativa curta: todo conjunto gerador contém uma base; essa base tem
vetores; se o gerador já tem
vetores então ele coincide com essa base, logo é base.)
Passo 5
Agora a afirmativa III: “Nenhum subconjunto de
com
vetores gera
.”
- Qualquer conjunto com
vetores gera um subespaço de dimensão no máximo (a dimensão do espaço gerado não pode exceder o número de vetores). Como , esse subespaço não pode ser todo . Portanto um conjunto com vetores não pode gerar . Conclusão: a afirmativa III é verdadeira.
(Analogia: em
, dois vetores não geram todo
— no máximo geram uma reta ou um plano.)
Passo 6
Resumo das verdades das afirmativas:
- I é falsa.
- II é verdadeira.
- III é verdadeira.
Portanto apenas II e III são verdadeiras. Isso corresponde à alternativa (C).
Resposta
(C)