Q12: Seja S o conjunto dos \left(x_{1}, \ldots, x_{14}\right) \in \mathbb{R}^{14} tais que:
\left\{\begin{aligned} x_{8} & =x_{7} \\\ x_{9} & =x_{4} \\\ x_{8}-x_{9} & =x_{7}-x_{4} \end{aligned}\right.
A dimen são de S é:
(A) 2
(B) 10
(C) 13
(D) 4
(E) 14
(F) 11
(G) 3
(H) 12

Passo 1

O enunciado define S\subset\mathbb{R}^{14} como o conjunto dos vetores \left(x_{1},\ldots,x_{14}\right) que satisfazem as três igualdades:
\begin{aligned} x_{8} &= x_{7},\\\ x_{9} &= x_{4},\\\ x_{8}-x_{9} &= x_{7}-x_{4}. \end{aligned}
A pergunta é: qual é a dimensão de S?

Passo 2

Ideia geral (fórmula que vamos usar). Quando S é o espaço solução homogêneo de um sistema linear homogêneo com n incógnitas, vale a relação
\dim(S)=n-\operatorname{rank}(A),
onde \operatorname{rank}(A) é o posto (número de equações linearmente independentes) do sistema. Aqui n=14, então
\dim(S)=14-\operatorname{rank}(A).
Nosso objetivo prático: descobrir quantas das três igualdades dadas são linearmente independentes.

Passo 3

Escrever as igualdades como equações lineares no formato padrão (cada uma igual a zero):
\begin{aligned} x_{8}-x_{7}&=0,\\\ x_{9}-x_{4}&=0,\\\ x_{8}-x_{9}-x_{7}+x_{4}&=0. \end{aligned}

Passo 4

Verificar dependência linear entre essas equações. Observe que
x_{8}-x_{9}-x_{7}+x_{4}=(x_{8}-x_{7})-(x_{9}-x_{4}).
Ou seja, a terceira equação é exatamente a diferença da primeira com a segunda. Portanto a terceira é combinação linear das outras duas e não acrescenta nenhuma restrição nova.

Passo 5

Concluir o posto do sistema. Como a terceira equação é dependente das duas primeiras, temos exatamente duas equações linearmente independentes. Logo
\operatorname{rank}(A)=2.

Passo 6

Calcular a dimensão de S usando a fórmula do Passo 2:
\dim(S)=14-2=12.
Interpretação prática (parametrização curta): podemos escolher livremente as coordenadas
x_{1},x_{2},x_{3},x_{4},x_{5},x_{6},x_{7},x_{10},x_{11},x_{12},x_{13},x_{14}
(12 graus de liberdade) e então as restantes seguem pelas restrições:
x_{8}=x_{7},\qquad x_{9}=x_{4}.
Por exemplo, qualquer vetor em S pode ser escrito como
\left(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4},x_{5},x_{6},x_{7},x_{7},x_{4},x_{10},x_{11},x_{12},x_{13},x_{14}\right),
o que mostra claramente os 12 parâmetros livres.

Resposta

H) 12

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