Q7: Considere os seguintes planos em \mathbb{R}^{4} : \left[\begin{array}{r}16 \\\\ 5 \\\\ -4 \\\\ 5\end{array}\right]+\operatorname{span}\left\{\left[\begin{array}{r}2 \\\\ 3 \\\\ -2 \\\\ -3\end{array}\right],\left[\begin{array}{r}2 \\\\ -1 \\\\ -2 \\\\ -1\end{{array}\right]\right\} \quad \mathrm{e} \left[\begin{array}{r}9 \\\\ -7 \\\\ 0 \\\\ 11\end{array}\right]+\operatorname{span}\left\{\left[\begin{array}{r}-3 \\\\ 1 \\\\ 0 \\\\ -3\end{array}\right],\left[\begin{array}{l}2 \\\\ 3 \\\\ 1 \\\\ 2\end{array}\right]\right\}.
Calcule o ponto ( x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4} ) em que estes dois planos se interceptam. (Observação: em \mathbb{R}^{4}, dois planos “tipicamente” se interceptam em um ponto.) O valor da entrada x_{1} é:
(A) 4
(B) 5
(C) 6
(D) 7
(E) 8
(F) 9
(G) 10
(H) 11
Passo 1
O enunciado dá dois planos afins em \mathbb{R}^{4}. Vou listar explicitamente os pontos e os geradores que peguei do enunciado:
Primeiro plano: ponto base \displaystyle p=\left[\begin{array}{r}16\\[2pt]5\\[2pt]-4\\[2pt]5\end{array}\right] e geradores \displaystyle v_{1}=\left[\begin{array}{r}2\\[2pt]3\\[2pt]-2\\[2pt]-3\end{array}\right], \displaystyle w_{1}=\left[\begin{array}{r}2\\[2pt]-1\\[2pt]-2\\[2pt]-1\end{array}\right].
Segundo plano: ponto base \displaystyle q=\left[\begin{array}{r}9\\[2pt]-7\\[2pt]0\\[2pt]11\end{array}\right] e geradores \displaystyle a=\left[\begin{array}{r}-3\\[2pt]1\\[2pt]0\\[2pt]-3\end{array}\right], \displaystyle b=\left[\begin{array}{r}2\\[2pt]3\\[2pt]1\\[2pt]2\end{array}\right].
O que o problema pede: encontrar o ponto de interseção desses dois planos e, em particular, identificar o valor da coordenada x_{1} (as opções vão de (A) a (H)).]
Passo 2
Estratégia (em termos operacionais): parametrizo cada plano por dois parâmetros, igualo as coordenadas e resolvo o sistema linear para os parâmetros — isso me dará o ponto comum. Vou parametrizar assim:
Para o primeiro plano uso parâmetros s,t:
x = p + s\,v_{1} + t\,w_{1}.
Para o segundo plano uso parâmetros u,v:
x = q + u\,a + v\,b.
Quando as duas parametrizações representam o mesmo ponto x, elas são iguais coordenada a coordenada. Vou escrever essas igualdades explicitamente.
Passo 3
Escrevendo coordenada a coordenada as duas parametrizações (peguei todos os coeficientes dos vetores do enunciado):