Q7: Considere os seguintes planos em \mathbb{R}^{4} :
\left[\begin{array}{r}16 \\\\ 5 \\\\ -4 \\\\ 5\end{array}\right]+\operatorname{span}\left\{\left[\begin{array}{r}2 \\\\ 3 \\\\ -2 \\\\ -3\end{array}\right],\left[\begin{array}{r}2 \\\\ -1 \\\\ -2 \\\\ -1\end{{array}\right]\right\} \quad \mathrm{e}
\left[\begin{array}{r}9 \\\\ -7 \\\\ 0 \\\\ 11\end{array}\right]+\operatorname{span}\left\{\left[\begin{array}{r}-3 \\\\ 1 \\\\ 0 \\\\ -3\end{array}\right],\left[\begin{array}{l}2 \\\\ 3 \\\\ 1 \\\\ 2\end{array}\right]\right\}.
Calcule o ponto ( x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4} ) em que estes dois planos se interceptam. (Observação: em \mathbb{R}^{4}, dois planos “tipicamente” se interceptam em um ponto.) O valor da entrada x_{1} é:
(A) 4
(B) 5
(C) 6
(D) 7
(E) 8
(F) 9
(G) 10
(H) 11

Passo 1

O enunciado dá dois planos afins em \mathbb{R}^{4}. Vou listar explicitamente os pontos e os geradores que peguei do enunciado:
  • Primeiro plano: ponto base \displaystyle p=\left[\begin{array}{r}16\\[2pt]5\\[2pt]-4\\[2pt]5\end{array}\right] e geradores \displaystyle v_{1}=\left[\begin{array}{r}2\\[2pt]3\\[2pt]-2\\[2pt]-3\end{array}\right], \displaystyle w_{1}=\left[\begin{array}{r}2\\[2pt]-1\\[2pt]-2\\[2pt]-1\end{array}\right].
  • Segundo plano: ponto base \displaystyle q=\left[\begin{array}{r}9\\[2pt]-7\\[2pt]0\\[2pt]11\end{array}\right] e geradores \displaystyle a=\left[\begin{array}{r}-3\\[2pt]1\\[2pt]0\\[2pt]-3\end{array}\right], \displaystyle b=\left[\begin{array}{r}2\\[2pt]3\\[2pt]1\\[2pt]2\end{array}\right].
O que o problema pede: encontrar o ponto de interseção desses dois planos e, em particular, identificar o valor da coordenada x_{1} (as opções vão de (A) a (H)).]

Passo 2

Estratégia (em termos operacionais): parametrizo cada plano por dois parâmetros, igualo as coordenadas e resolvo o sistema linear para os parâmetros — isso me dará o ponto comum. Vou parametrizar assim:
  • Para o primeiro plano uso parâmetros s,t:
x = p + s\,v_{1} + t\,w_{1}.
  • Para o segundo plano uso parâmetros u,v:
x = q + u\,a + v\,b.
Quando as duas parametrizações representam o mesmo ponto x, elas são iguais coordenada a coordenada. Vou escrever essas igualdades explicitamente.

Passo 3

Escrevendo coordenada a coordenada as duas parametrizações (peguei todos os coeficientes dos vetores do enunciado):
Para o primeiro plano:
\begin{aligned} x_{1} &= 16 + 2s + 2t,\\\ x_{2} &= 5 + 3s - t,\\\ x_{3} &= -4 -2s -2t,\\\ x_{4} &= 5 -3s - t. \end{aligned}
Para o segundo plano:
\begin{aligned} x_{1} &= 9 -3u + 2v,\\\ x_{2} &= -7 + u + 3v,\\\ x_{3} &= v,\\\ x_{4} &= 11 -3u + 2v. \end{aligned}
Igualando coordenadas obtemos o sistema (quatro equações, quatro incógnitas s,t,u,v):
\begin{aligned} 16 + 2s + 2t &= 9 -3u + 2v,\\\\ 5 + 3s - t &= -7 + u + 3v,\\\\ -4 -2s -2t &= v,\\\\ 5 -3s - t &= 11 -3u + 2v. \end{aligned}

Passo 4

Uso a terceira equação para expressar v em termos de s,t (isso simplifica bastante):
v = -4 -2s -2t.
Substituo essa expressão nas outras três equações para eliminar v.

Passo 5

Substituindo v na primeira equação:
16 + 2s + 2t = 9 -3u + 2(-4 -2s -2t).
Calculo o lado direito passo a passo:
9 -3u + 2(-4 -2s -2t) = 9 -3u -8 -4s -4t = 1 -3u -4s -4t.
Passo tudo para um lado e simplifico:
16 + 2s + 2t - (1 -3u -4s -4t) = 0 \quad\Rightarrow\quad 15 +6s +6t +3u = 0.
Dividindo por 3:
u = -5 -2s -2t.

Passo 6

Agora substituo v e u nas equações restantes. Primeira já deu u. Substituo em segunda equação:
5 + 3s - t = -7 + u + 3v.
Com u=-5-2s-2t e v=-4-2s-2t o lado direito fica
-7 +(-5-2s-2t) + 3(-4-2s-2t) = -7 -5 -2s -2t -12 -6s -6t = -24 -8s -8t.
Logo
5 + 3s - t = -24 -8s -8t.
Reagrupando:
11s +7t = -29. \quad\text{(Equação A)}çã
Agora a quarta equação:
5 -3s - t = 11 -3u + 2v.
Substituindo u e v:
11 -3(-5-2s-2t) + 2(-4-2s-2t) = 11 +15 +6s +6t -8 -4s -4t = 18 +2s +2t.
Logo
5 -3s - t = 18 +2s +2t \quad\Rightarrow\quad 5s +3t = -13. \quad\text{(Equação B)}çã
Agora resolvo o sistema formado por (A) e (B):
\begin{aligned} 11s + 7t &= -29,\\\\ 5s + 3t &= -13. \end{aligned}

Passo 7

Resolvo por eliminação. Multiplico a segunda equação por -2 e somo à primeira:
-2(5s+3t) = -10s -6t = 26.
Somando com 11s+7t=-29:
(11s-10s)+(7t-6t) = s + t = -3.
Então s + t = -3. Usando t = -3 - s na equação 5s + 3t = -13:
5s + 3(-3 - s) = -13 \quad\Rightarrow\quad 5s -9 -3s = -13 \quad\Rightarrow\quad 2s = -4 \quad\Rightarrow\quad s = -2.
Então t = -3 - s = -3 - (-2) = -1.
Com s,t posso obter v e u pelas fórmulas anteriores:
v = -4 -2s -2t = -4 -2(-2) -2(-1) = -4 +4 +2 = 2,
u = -5 -2s -2t = -5 -2(-2) -2(-1) = -5 +4 +2 = 1.

Passo 8

Agora calculo o ponto de interseção usando, por exemplo, a parametrização do segundo plano (usei u=1, v=2):
\begin{aligned} x_{1} &= 9 -3u + 2v = 9 -3(1) + 2(2) = 9 -3 +4 = 10,\\\ x_{2} &= -7 + u + 3v = -7 +1 + 3\cdot 2 = -7 +1 +6 = 0,\\\ x_{3} &= v = 2,\\\ x_{4} &= 11 -3u + 2v = 11 -3(1) + 2(2) = 11 -3 +4 = 12. \end{aligned}
Para conferir, substituo s=-2,t=-1 na parametrização do primeiro plano e obtenho exatamente (10,0,2,12), confirmação de que está correto.
Portanto o ponto de interseção é \displaystyle (x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}) = (10,0,2,12).

Resposta

(G) 10

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