Q14: Seja V um espaço vetorial de dimensão 7. Considere as afirmativas abaixo:
(A) Todas são verdadeiras.
(B) Só I e III são verdadeiras.
(C) Só I é verdadeira.
(D) Só III é verdadeira.
(E) Só II e III são verdadeiras.
(F) Todas são falsas.
(G) Só I e II são verdadeiras.
(H) Só II é verdadeira.
I. To do subconjunto LI de V com 7 vetores gera V.
II. Nem to do subconjunto LI de V com 7 vetores é uma base de V.
III. To do subconjunto de V com 8 vetores é LD.

Passo 1

O enunciado dá que V é um espaço vetorial com \dim(V)=7. As afirmativas a serem avaliadas são:
I. Todo subconjunto linearmente independente (LI) de V com 7 vetores gera V.
II. Nem todo subconjunto LI de V com 7 vetores é uma base de V.
III. Todo subconjunto de V com 8 vetores é linearmente dependente (LD).
A tarefa é decidir quais das afirmativas I, II e III são verdadeiras e escolher a alternativa correta entre as opções fornecidas.

Passo 2

Vamos lembrar o que significa “linearmente independente” e “linearmente dependente”. Uma família de vetores \{v_1,\dots,v_k\}\subset V é dita linearmente independente (LI) se a única combinação linear que dá o vetor nulo é a combinação trivial, isto é, se
\alpha_1 v_1+\alpha_2 v_2+\cdots+\alpha_k v_k=0
implica \alpha_1=\alpha_2=\cdots=\alpha_k=0.
Se existir uma combinação não trivial (alguma \alpha_i\neq0) que produza 0, então a família é linearmente dependente (LD).
Exemplo concreto e simples: em \mathbb{R}^2, os vetores (1,0) e (0,1) são LI, porque \alpha(1,0)+\beta(0,1)=(0,0) implica \alpha=\beta=0. Já os vetores (1,0), (2,0) são LD, porque 2\cdot(1,0)-1\cdot(2,0)=(0,0) com coeficientes não todos zero.

Passo 3

Definição de gerar (span) e de base. Dizemos que um conjunto S\subset V gera V (ou que \operatorname{span}(S)=V) se qualquer vetor de V pode ser escrito como combinação linear de vetores de S. Uma base de V é um conjunto que é simultaneamente LI e gera V.
Importante: a dimensão \dim(V) é, por definição, o número de vetores em qualquer base de V. Assim, toda base de V tem exatamente \dim(V) vetores.

Passo 4

Teorema útil (e muito usado em provas): Em um espaço vetorial finito de dimensão n,
  • qualquer conjunto LI com exatamente n vetores é uma base (logo gera o espaço);
  • qualquer conjunto que gera o espaço e tem exatamente n vetores é LI (logo é uma base).
    Vou demonstrar a primeira afirmação (suficiente para nosso problema):
Prova (esquemática, passo a passo): seja V com \dim(V)=n e seja S=\{v_1,\dots,v_n\} LI. Suponha, por contradição, que S não gera V. Então existe w\in V que não está no span de S. Como S é LI, pode-se estender S adicionando w e possivelmente outros vetores até obter uma base B de V. Essa base B teria mais de n vetores (já que incluiu S que tem n vetores e adicionou pelo menos mais um), o que contradiz o fato de que toda base tem exatamente n vetores. Logo a suposição está errada e S deve gerar V. Portanto S é base.
Comentário prático para prova: se estás num exame e tens um conjunto LI com número de vetores igual à dimensão, podes afirmar imediatamente que é base (sem cálculos extras).

Passo 5

Aplicando o teorema ao nosso caso: como \dim(V)=7, qualquer subconjunto LI de V com 7 vetores gera V. Portanto a afirmativa I é verdadeira.

Passo 6

Interpretando a afirmativa II: ela diz que "Nem todo subconjunto LI de V com 7 vetores é uma base de V". Isso afirma que existe algum subconjunto LI com 7 vetores que não é base. Mas do passo anterior vimos que todo subconjunto LI com 7 vetores é, de fato, base. Portanto a afirmativa II é falsa.
Lembrete lógico: dizer “Nem todo X é Y” é equivalente a afirmar “Existe X que não é Y”. Aqui essa existência é falsa.

Passo 7

Agora a respeito da afirmativa III: existe um resultado padrão sobre dependência quando o número de vetores excede a dimensão. Em um espaço de dimensão n, qualquer conjunto com mais de n vetores é necessariamente linearmente dependente. Explicação curta: a maior cardinalidade possível de um conjunto LI é n (pois uma base tem n vetores). Se um conjunto tivesse k>n vetores e fosse LI, teríamos um conjunto LI com mais de n vetores, o que contradiz a definição de dimensão. Alternativamente, escolhendo uma base e escrevendo os vetores em coordenadas, obtém-se uma matriz n\times k com k>n; linhas ≤ n implicam que as colunas são LD.
Portanto, em V com \dim(V)=7, qualquer conjunto com 8 vetores é LD. Assim a afirmativa III é verdadeira.

Passo 8

Resumo das conclusões:
  • I é verdadeira (LI com 7 vetores gera V).
  • II é falsa (é a negação do que vimos em I).
  • III é verdadeira (qualquer conjunto com 8 vetores em espaço de dimensão 7 é LD).
Com isso, as afirmativas verdadeiras são apenas I e III.

Resposta

(B)

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