Q14: Seja
um espaço vetorial de dimensão 7. Considere as afirmativas abaixo:
(A) Todas são verdadeiras.
(B) Só I e III são verdadeiras.
(C) Só I é verdadeira.
(D) Só III é verdadeira.
(E) Só II e III são verdadeiras.
(F) Todas são falsas.
(G) Só I e II são verdadeiras.
(H) Só II é verdadeira.
I. To do subconjunto LI de
com 7 vetores gera
.
II. Nem to do subconjunto LI de
com 7 vetores é uma base de
.
III. To do subconjunto de
com 8 vetores é LD.
(A) Todas são verdadeiras.
(B) Só I e III são verdadeiras.
(C) Só I é verdadeira.
(D) Só III é verdadeira.
(E) Só II e III são verdadeiras.
(F) Todas são falsas.
(G) Só I e II são verdadeiras.
(H) Só II é verdadeira.
I. To do subconjunto LI de
II. Nem to do subconjunto LI de
III. To do subconjunto de
Passo 1
O enunciado dá que
é um espaço vetorial com
. As afirmativas a serem avaliadas são:
I. Todo subconjunto linearmente independente (LI) de
com 7 vetores gera
.
II. Nem todo subconjunto LI de
com 7 vetores é uma base de
.
III. Todo subconjunto de
com 8 vetores é linearmente dependente (LD).
A tarefa é decidir quais das afirmativas I, II e III são verdadeiras e escolher a alternativa correta entre as opções fornecidas.
Passo 2
Vamos lembrar o que significa “linearmente independente” e “linearmente dependente”. Uma família de vetores
é dita linearmente independente (LI) se a única combinação linear que dá o vetor nulo é a combinação trivial, isto é, se
implica
.
Se existir uma combinação não trivial (alguma ) que produza
, então a família é linearmente dependente (LD).
Se existir uma combinação não trivial (alguma
Exemplo concreto e simples: em
, os vetores
e
são LI, porque
implica
. Já os vetores
,
são LD, porque
com coeficientes não todos zero.
Passo 3
Definição de gerar (span) e de base. Dizemos que um conjunto
gera
(ou que
) se qualquer vetor de
pode ser escrito como combinação linear de vetores de
. Uma base de
é um conjunto que é simultaneamente LI e gera
.
Importante: a dimensão
é, por definição, o número de vetores em qualquer base de
. Assim, toda base de
tem exatamente
vetores.
Passo 4
Teorema útil (e muito usado em provas): Em um espaço vetorial finito de dimensão
,
- qualquer conjunto LI com exatamente
vetores é uma base (logo gera o espaço); - qualquer conjunto que gera o espaço e tem exatamente
vetores é LI (logo é uma base).
Vou demonstrar a primeira afirmação (suficiente para nosso problema):
Prova (esquemática, passo a passo): seja
com
e seja
LI. Suponha, por contradição, que
não gera
. Então existe
que não está no span de
. Como
é LI, pode-se estender
adicionando
e possivelmente outros vetores até obter uma base
de
. Essa base
teria mais de
vetores (já que incluiu
que tem
vetores e adicionou pelo menos mais um), o que contradiz o fato de que toda base tem exatamente
vetores. Logo a suposição está errada e
deve gerar
. Portanto
é base.
Comentário prático para prova: se estás num exame e tens um conjunto LI com número de vetores igual à dimensão, podes afirmar imediatamente que é base (sem cálculos extras).
Passo 5
Aplicando o teorema ao nosso caso: como
, qualquer subconjunto LI de
com 7 vetores gera
. Portanto a afirmativa I é verdadeira.
Passo 6
Interpretando a afirmativa II: ela diz que "Nem todo subconjunto LI de
com 7 vetores é uma base de
". Isso afirma que existe algum subconjunto LI com 7 vetores que não é base. Mas do passo anterior vimos que todo subconjunto LI com 7 vetores é, de fato, base. Portanto a afirmativa II é falsa.
Lembrete lógico: dizer “Nem todo X é Y” é equivalente a afirmar “Existe X que não é Y”. Aqui essa existência é falsa.
Passo 7
Agora a respeito da afirmativa III: existe um resultado padrão sobre dependência quando o número de vetores excede a dimensão. Em um espaço de dimensão
, qualquer conjunto com mais de
vetores é necessariamente linearmente dependente. Explicação curta: a maior cardinalidade possível de um conjunto LI é
(pois uma base tem
vetores). Se um conjunto tivesse
vetores e fosse LI, teríamos um conjunto LI com mais de
vetores, o que contradiz a definição de dimensão. Alternativamente, escolhendo uma base e escrevendo os vetores em coordenadas, obtém-se uma matriz
com
; linhas ≤
implicam que as colunas são LD.
Portanto, em
com
, qualquer conjunto com 8 vetores é LD. Assim a afirmativa III é verdadeira.
Passo 8
Resumo das conclusões:
- I é verdadeira (LI com 7 vetores gera
). - II é falsa (é a negação do que vimos em I).
- III é verdadeira (qualquer conjunto com 8 vetores em espaço de dimensão 7 é LD).
Com isso, as afirmativas verdadeiras são apenas I e III.
Resposta
(B)