Q12: Seja S o conjunto dos \left(x_{1}, \ldots, x_{15}\right) \in \mathbb{R}^{15} tais que:
\left\{\begin{array}{c} x_{14}=x_{7} \\\ x_{5}=x_{2} \\\ x_{5}+x_{14}=x_{2}+x_{7} \end{array}\right.
A dimensão de S é:
(A) 14
(B) 11
(C) 15
(D) 3
(E) 2
(F) 4
(G) 13
(H) 12

Passo 1

O enunciado dá o conjunto S\) dos vetores \(\left(x_{1},\ldots,x_{15}\right)\in\mathbb{R}^{15}\) que satisfazem as três equações: \[\begin{cases} x_{14}=x_{7},\\[4pt] x_{5}=x_{2},\\[4pt] x_{5}+x_{14}=x_{2}+x_{7}. \end{cases}
A pergunta é: qual é a dimensão de (S]?]

Passo 2

Interpretação: cada equação é uma equação linear homogênea sobre as coordenadas x_1,\ldots,x_{15}. O conjunto S é, portanto, o espaço solução de um sistema linear homogêneo em \mathbb{R}^{15}, logo é um subespaço linear de \mathbb{R}^{15}.
Lembrete (rápido e prático): se um subespaço de \mathbb{R}^{n} é definido por r equações lineares independentes, então sua dimensão é n-r. Cada equação linear independente reduz o número de graus de liberdade em 1. Se alguma equação for combinação linear das outras, ela não reduz a dimensão (é redundante).

Passo 3

Escrevendo as três equações na forma padrão (igual a zero):
x_{14}-x_{7}=0, \qquad x_{5}-x_{2}=0, \qquad x_{5}+x_{14}-x_{2}-x_{7}=0.
Agora observe a relação entre elas. A terceira equação pode ser reescrita como
x_{5}+x_{14}-x_{2}-x_{7}=(x_{5}-x_{2})+(x_{14}-x_{7}).
Ou seja, a terceira é exatamente a soma da primeira com a segunda.

Passo 4

Consequência: a terceira equação é dependente (redundante) das primeiras duas. Portanto o sistema efetivamente tem apenas duas equações lineares independentes.
Para ter certeza de que as duas primeiras são realmente independentes: os vetores de coeficientes correspondentes são distintos e não múltiplos um do outro (um tem coeficientes não nulos apenas nas posições 14 e 7, o outro apenas em 5 e 2), logo não há combinação escalar que transforme um no outro. Assim são independentes.

Passo 5

Aplicando a fórmula dimensão = número de variáveis menos número de equações independentes, obtemos
\dim S = 15 - 2 = 13.
Outra forma de ver: há 13 variáveis livres. Por exemplo, pode-se escolher livremente
x_1,x_3,x_4,x_5,x_6,x_7,x_8,x_9,x_{10},x_{11},x_{12},x_{13},x_{15}
(13 variáveis) e então definir x_2=x_5 e x_{14}=x_7. Isso parametriza S como \mathbb{R}^{13}.

Resposta

13

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