Determine, em cada caso, se o espaço-solução do sistema linear homogêneo A X= 0 é um plano pela origem, uma reta pela origem ou apenas a origem. Se for um plano, obtenha uma equação para este plano; se for uma reta, obtenha as equações paramétricas dessa reta.
A=\left[\begin{array}{lll}1 & -3 & 1 \\\\ 2 & -6 & 2 \\\\ 3 & -9 & 3\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede que se determine, para o sistema homogêneo A X = 0:
  • se o espaço solução é um plano que passa pela origem, uma reta que passa pela origem, ou apenas a origem;
  • se for plano, obter uma equação desse plano;
  • se for reta, obter as equações paramétricas da reta.
Informações dadas:
A=\begin{pmatrix}1 & -3 & 1 \\[4pt] 2 & -6 & 2 \\[4pt] 3 & -9 & 3\end{pmatrix}, \qquad X=\begin{pmatrix}x_1\\[4pt] x_2\\[4pt] x_3\end{pmatrix}, \qquad \text{o sistema é } A X=0.é]

Passo 2

Vamos achar as equações impostas pelo sistema A X=0 por eliminação de Gauss (redução de linhas). A ideia: transformar a matriz aumentada (aqui a coluna de zeros é óbvia) em uma forma em que seja fácil identificar equações independentes. Se uma linha não nula permanecer, ela corresponde a uma equação linear independente; linhas nulas indicam dependência entre as equações.
Escrevo a matriz dos coeficientes e faço operações por linhas:
\begin{pmatrix} 1 & -3 & 1\\[4pt] 2 & -6 & 2\\[4pt] 3 & -9 & 3 \end{pmatrix}.
Faço R_2 \leftarrow R_2 - 2R_1 e R_3 \leftarrow R_3 - 3R_1. Calculando:
R_2 - 2R_1 = (2,-6,2) - 2(1,-3,1) = (0,0,0),
R_3 - 3R_1 = (3,-9,3) - 3(1,-3,1) = (0,0,0).
Portanto, após as operações a matriz fica
\begin{pmatrix} 1 & -3 & 1\\[4pt] 0 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.]

Passo 3

Interpretando o resultado da eliminação: só há uma linha não nula residual, que corresponde à equação linear independente
1\cdot x_1 - 3\cdot x_2 + 1\cdot x_3 = 0.
Ou seja,
x_1 - 3x_2 + x_3 = 0.
As outras duas linhas nulas não impõem novas condições (eram múltiplas da primeira).

Passo 4

Agora usamos o conceito de posto (rank) e nulidade (dimensão do espaço solução). O posto da matriz A é o número de linhas independentes; aqui o posto é
\operatorname{rank}(A)=1.
Pelo Teorema do Núcleo e Imagem (rank-nullity) em \mathbb{R}^3,
\dim(\ker A)=n-\operatorname{rank}(A)=3-1=2,
onde n=3 é o número de incógnitas. Logo o espaço solução tem dimensão 2.

Passo 5

Um subespaço linear de \mathbb{R}^3 de dimensão 2 é um plano que passa pela origem. Portanto o espaço solução é um plano pelo origem. A equação que descreve esse plano é justamente a equação linear independente que encontramos:
x_1 - 3x_2 + x_3 = 0.

Passo 6

Explico de forma prática como escrever uma descrição paramétrica do plano (útil na hora da prova):
  • Escolho duas variáveis livres; por exemplo tomo x_2=s e x_3=t, com s,t\in\mathbb{R}.
  • Substituo na equação x_1 - 3x_2 + x_3 = 0 e resolvo para x_1:
x_1 = 3x_2 - x_3 = 3s - t.
Logo a solução geral em forma paramétrica é
\begin{pmatrix}x_1\\[4pt]x_2\\[4pt]x_3\end{pmatrix} = s\begin{pmatrix}3\\[4pt]1\\[4pt]0\end{pmatrix} + t\begin{pmatrix}-1\\[4pt]0\\[4pt]1\end{pmatrix}, \qquad s,t\in\mathbb{R}.
Os vetores \begin{pmatrix}3\\\ 1\\\ 0\end{pmatrix} e \begin{pmatrix}-1\\\ 0\\\ 1\end{pmatrix} formam uma base do plano solução.]

Passo 7

Resumo interpretativo e dica para prova: sempre que as linhas (ou colunas) da matriz forem múltiplas umas das outras é sinal de dependência linear e reduz bastante o posto. Contando o posto e subtraindo de n obtém-se a dimensão do espaço solução; dimensão 2 significa plano, 1 significa reta, 0 significa apenas a origem. Aqui deu dimensão 2, então é plano.

Resposta

É um plano que passa pela origem: \;x_1 - 3x_2 + x_3 = 0.
Forma paramétrica do plano: \;(x_1,x_2,x_3)=s(3,1,0)+t(-1,0,1),\;s,t\in\mathbb{R}.

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