Q16: Seja S=\left\{\vec{v}_{1}, \vec{v}_{2}, \vec{v}_{3}\right\} um conjunto de 3 vetores distintos de \mathbb{R}^{3}. Sejam A=\left\{\vec{v}_{1}, \vec{v}_{2}\right\}, B=\left\{\vec{v}_{1}, \vec{v}_{3}\right\}, C=\left\{\vec{v}_{2}, \vec{v}_{3}\right\}. Considere as afirmativas abaixo:
I. Se A, B e C são todos LIs, então S é uma base de \mathbb{R}^{3}.
II. Se \vec{v}_{1}, \vec{v}_{2}, \vec{v}_{3} sĩo coplanares, então S pode ser LI.
III. Se \vec{v}_{3} \notin \operatorname{span}\left\{\vec{v}_{1}, \vec{v}_{2}\right\}, \vec{v}_{2} \notin \operatorname{span}\left\{\vec{v}_{1}, \vec{v}_{3}\right\}, \vec{v}_{1} \notin span \left\{\vec{v}_{2}, \vec{v}_{3}\right\}, então \left\{\vec{v}_{1}, \vec{v}_{2}, \vec{v}_{3}\right\} \in \mathrm{LI}.

Passo 1

O enunciado dá o conjunto S=\{\vec{v}_1,\vec{v}_2,\vec{v}_3\} de vetores distintos em \mathbb{R}^3 e os subconjuntos A=\{\vec{v}_1,\vec{v}_2\}, B=\{\vec{v}_1,\vec{v}_3\}, C=\{\vec{v}_2,\vec{v}_3\}. Precisa-se analisar a veracidade das três afirmativas:
I. Se A,B,C são todos linearmente independentes, então S é uma base de \mathbb{R}^3.
II. Se \vec{v}_1,\vec{v}_2,\vec{v}_3 são coplanares, então S pode ser linearmente independente.
III. Se \vec{v}_3\notin\operatorname{span}\{\vec{v}_1,\vec{v}_2\}, \vec{v}_2\notin\operatorname{span}\{\vec{v}_1,\vec{v}_3\}, \vec{v}_1\notin\operatorname{span}\{\vec{v}_2,\vec{v}_3\}, então \{\vec{v}_1,\vec{v}_2,\vec{v}_3\} é linearmente independente.
Listei o que o problema pede e os dados; a partir daqui vamos explicar conceitos e analisar cada afirmativa com exemplos e argumentos.

Passo 2

Explicações e definições essenciais (aquelas que vão aparecer na prova; vou explicar devagar).
  • Definição de linearmente independente (LI): um conjunto \{\vec{u}_1,\dots,\vec{u}_k\} é LI se, da igualdade
a_1\vec{u}_1+\cdots+a_k\vec{u}_k=\vec{0}
segue que todos os coeficientes são nulos: a_1=\cdots=a_k=0. Caso exista uma combinação não trivial (algum coeficiente diferente de zero) que produz \vec{0}, o conjunto é linearmente dependente (LD).
  • Definição de span: \operatorname{span}\{\vec{u}_1,\dots,\vec{u}_m\} é o conjunto de todas as combinações lineares b_1\vec{u}_1+\cdots+b_m\vec{u}_m. Dizer que \vec{w}\in\operatorname{span}\{\vec{u}_1,\dots,\vec{u}_m\} significa exatamente que \vec{w} pode ser escrito como combinação linear desses vetores.
  • Base de \mathbb{R}^3: é um conjunto de 3 vetores de \mathbb{R}^3 que seja LI. Em \mathbb{R}^3, qualquer conjunto de três vetores LI gera \mathbb{R}^3 (ou seja, é uma base).
  • Coplanaridade (no contexto de vetores): três vetores \vec{v}_1,\vec{v}_2,\vec{v}_3 são coplanares se existem uma mesma reta e plano (no caso de vetores com origem na mesma origem) tal que todos pertencem a um mesmo plano que passa pela origem, ou seja, eles pertencem a um subespaço de dimensão \le 2.
Observação útil que usarei depois (e é importante para provas): para três vetores, a dependência e a condição “um está no span dos outros dois” estão intimamente relacionadas: se \{\vec{v}_1,\vec{v}_2,\vec{v}_3\} é LD então pelo menos um vetor pode ser escrito como combinação linear dos outros dois; e se algum vetor é combinação linear dos outros dois então o conjunto é LD. Vou demonstrar isso formalmente quando precisar.

Passo 3

Analisando a afirmativa I.
  • A afirmativa diz: "Se A,B,C são todos LI, então S é base de \mathbb{R}^3". Lembrete: A,B,C serem LI significa que cada par de vetores é LI (ou seja, nenhum par é múltiplo escalar).
  • Isso não garante que os três vetores juntos sejam LI. Vou mostrar um contraexemplo explícito (na prova, contraexemplos são armas poderosas).
    Pegue \vec{v}_1 = \begin{pmatrix}1\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix},\quad \vec{v}_2 = \begin{pmatrix}0\\\ 1\\\ 0\end{pmatrix},\quad \vec{v}_3 = \begin{pmatrix}1\\\ 1\\\ 0\end{pmatrix}.Verificações:
    • O par \{\vec{v}_1,\vec{v}_2\} é LI porque não são múltiplos: a equação a\vec{v}_1+b\vec{v}_2=\vec{0} força a=b=0.
    • O par \{\vec{v}_1,\vec{v}_3\} é LI porque \vec{v}_3 não é múltiplo de \vec{v}_1.
    • O par \{\vec{v}_2,\vec{v}_3\} é LI porque \vec{v}_3 não é múltiplo de \vec{v}_2.
      Assim A,B,C são todos LI.
      Contudo,
    \vec{v}_3 = \vec{v}_1 + \vec{v}_2,então existe uma combinação não trivial 1\cdot\vec{v}_1 + 1\cdot\vec{v}_2 + (-1)\cdot\vec{v}_3 = \vec{0},o que mostra que \{\vec{v}_1,\vec{v}_2,\vec{v}_3\} é LD. Logo não é base.
  • Conclusão: a afirmativa I é falsa; saber que todos os pares são LI não impede que o terceiro seja soma dos dois (caso clássico de três vetores num mesmo plano).

Passo 4

Analisando a afirmativa II.
  • Afirmativa: “Se \vec{v}_1,\vec{v}_2,\vec{v}_3 são coplanares, então S pode ser LI.” Interpreto “pode ser LI” como “é possível que S seja LI” — ou seja, existe a possibilidade de três vetores coplanares serem LI.
  • Mas raciocine assim: se três vetores são coplanares e todos têm origem comum (vetores no espaço vetorial), então eles pertencem a um subespaço de dimensão no máximo 2. Em qualquer subespaço de dimensão 2 não existe conjunto com 3 vetores LI (o máximo de vetores LI é igual à dimensão do subespaço).
  • Portanto, três vetores coplanares em \mathbb{R}^3 são necessariamente linearmente dependentes; não há como os três serem LI.
  • Exemplo simples: qualquer três vetores do plano z=0 (como no contraexemplo do passo anterior) são coplanares e dependentes se o terceiro é combinação dos dois primeiros; de fato, sempre haverá dependência porque o subespaço tem dimensão 2.
  • Conclusão: a afirmativa II é falsa — se são coplanares, S não pode ser LI.

Passo 5

Analisando a afirmativa III e provando que é verdadeira.
  • Afirmativa: se nenhum vetor pertence ao span dos outros dois, i.e. \vec{v}_3\notin\operatorname{span}\{\vec{v}_1,\vec{v}_2\},\quad \vec{v}_2\notin\operatorname{span}\{\vec{v}_1,\vec{v}_3\},\quad \vec{v}_1\notin\operatorname{span}\{\vec{v}_2,\vec{v}_3\},então \{\vec{v}_1,\vec{v}_2,\vec{v}_3\} é LI.
  • Prova clara e direta (método da contrapartida/algebra): suponha, por contradição, que \{\vec{v}_1,\vec{v}_2,\vec{v}_3\} seja LD. Então existem escalares a_1,a_2,a_3, nem todos zero, tais que a_1\vec{v}_1 + a_2\vec{v}_2 + a_3\vec{v}_3 = \vec{0}.Pelo menos um dos a_i é não nulo. Se, por exemplo, a_3\neq 0, podemos isolar \vec{v}_3: \vec{v}_3 = -\frac{a_1}{a_3}\,\vec{v}_1 - \frac{a_2}{a_3}\,\vec{v}_2,ou seja, \vec{v}_3\in\operatorname{span}\{\vec{v}_1,\vec{v}_2\}. Isso contraria a hipótese da afirmativa. O mesmo raciocínio vale se a_1\neq0 ou a_2\neq0: isolando o vetor correspondente obtemos que esse vetor pertence ao span dos outros dois, novamente contradizendo a hipótese.
  • Portanto a hipótese “nenhum vetor está no span dos outros dois” impede qualquer relação linear não trivial; assim a única solução da combinação linear igual a \vec{0} é a_1=a_2=a_3=0. Logo \{\vec{v}_1,\vec{v}_2,\vec{v}_3\} é LI.
  • Conclusão: a afirmativa III é verdadeira.

Passo 6

Resumo final e encorajamento rápido: I é falsa por contraexemplo; II é falsa por argumento de dimensão; III é verdadeira e tem uma prova curta e elegante (dependência implica que algum vetor está no span dos outros dois, portanto a negação disso garante independência). Você está indo bem — esse tipo de raciocínio (contraexemplos e contraposição) aparece muito em provas, então treina esse estilo!

Resposta

I: Falsa
II: Falsa
III: Verdadeira

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