Q16: Seja
um conjunto de 3 vetores distintos de
. Sejam
. Considere as afirmativas abaixo:
I. Se
e
são todos LIs, então
é uma base de
.
II. Se
sĩo coplanares, então
pode ser LI.
III. Se
span
, então
.
I. Se
II. Se
III. Se
Passo 1
O enunciado dá o conjunto
de vetores distintos em
e os subconjuntos
,
,
. Precisa-se analisar a veracidade das três afirmativas:
I. Se são todos linearmente independentes, então
é uma base de
.
II. Se são coplanares, então
pode ser linearmente independente.
III. Se ,
,
, então
é linearmente independente.
I. Se
II. Se
III. Se
Listei o que o problema pede e os dados; a partir daqui vamos explicar conceitos e analisar cada afirmativa com exemplos e argumentos.
Passo 2
Explicações e definições essenciais (aquelas que vão aparecer na prova; vou explicar devagar).
- Definição de linearmente independente (LI): um conjunto
é LI se, da igualdade
segue que todos os coeficientes são nulos:
. Caso exista uma combinação não trivial (algum coeficiente diferente de zero) que produz
, o conjunto é linearmente dependente (LD).
- Definição de span:
é o conjunto de todas as combinações lineares . Dizer que significa exatamente que pode ser escrito como combinação linear desses vetores. - Base de
: é um conjunto de vetores de que seja LI. Em , qualquer conjunto de três vetores LI gera (ou seja, é uma base). - Coplanaridade (no contexto de vetores): três vetores
são coplanares se existem uma mesma reta e plano (no caso de vetores com origem na mesma origem) tal que todos pertencem a um mesmo plano que passa pela origem, ou seja, eles pertencem a um subespaço de dimensão .
Observação útil que usarei depois (e é importante para provas): para três vetores, a dependência e a condição “um está no span dos outros dois” estão intimamente relacionadas: se
é LD então pelo menos um vetor pode ser escrito como combinação linear dos outros dois; e se algum vetor é combinação linear dos outros dois então o conjunto é LD. Vou demonstrar isso formalmente quando precisar.
Passo 3
Analisando a afirmativa I.
- A afirmativa diz: "Se
são todos LI, então é base de ". Lembrete: serem LI significa que cada par de vetores é LI (ou seja, nenhum par é múltiplo escalar). - Isso não garante que os três vetores juntos sejam LI. Vou mostrar um contraexemplo explícito (na prova, contraexemplos são armas poderosas).
PegueVerificações: - O par
é LI porque não são múltiplos: a equação força . - O par
é LI porque não é múltiplo de . - O par
é LI porque não é múltiplo de .
Assim são todos LI.
Contudo,
então existe uma combinação não trivial o que mostra que é LD. Logo não é base. - O par
- Conclusão: a afirmativa I é falsa; saber que todos os pares são LI não impede que o terceiro seja soma dos dois (caso clássico de três vetores num mesmo plano).
Passo 4
Analisando a afirmativa II.
- Afirmativa: “Se
são coplanares, então pode ser LI.” Interpreto “pode ser LI” como “é possível que seja LI” — ou seja, existe a possibilidade de três vetores coplanares serem LI. - Mas raciocine assim: se três vetores são coplanares e todos têm origem comum (vetores no espaço vetorial), então eles pertencem a um subespaço de dimensão no máximo
. Em qualquer subespaço de dimensão não existe conjunto com 3 vetores LI (o máximo de vetores LI é igual à dimensão do subespaço). - Portanto, três vetores coplanares em
são necessariamente linearmente dependentes; não há como os três serem LI. - Exemplo simples: qualquer três vetores do plano
(como no contraexemplo do passo anterior) são coplanares e dependentes se o terceiro é combinação dos dois primeiros; de fato, sempre haverá dependência porque o subespaço tem dimensão . - Conclusão: a afirmativa II é falsa — se são coplanares,
não pode ser LI.
Passo 5
Analisando a afirmativa III e provando que é verdadeira.
- Afirmativa: se nenhum vetor pertence ao span dos outros dois, i.e.
então é LI. - Prova clara e direta (método da contrapartida/algebra): suponha, por contradição, que
seja LD. Então existem escalares , nem todos zero, tais que Pelo menos um dos é não nulo. Se, por exemplo, , podemos isolar : ou seja, . Isso contraria a hipótese da afirmativa. O mesmo raciocínio vale se ou : isolando o vetor correspondente obtemos que esse vetor pertence ao span dos outros dois, novamente contradizendo a hipótese. - Portanto a hipótese “nenhum vetor está no span dos outros dois” impede qualquer relação linear não trivial; assim a única solução da combinação linear igual a
é . Logo é LI. - Conclusão: a afirmativa III é verdadeira.
Passo 6
Resumo final e encorajamento rápido: I é falsa por contraexemplo; II é falsa por argumento de dimensão; III é verdadeira e tem uma prova curta e elegante (dependência implica que algum vetor está no span dos outros dois, portanto a negação disso garante independência). Você está indo bem — esse tipo de raciocínio (contraexemplos e contraposição) aparece muito em provas, então treina esse estilo!
Resposta
I: Falsa
II: Falsa
III: Verdadeira
II: Falsa
III: Verdadeira