Q8: Considere \beta=\left\{\vec{v}_{1}, \vec{v}_{2}, \vec{v}_{3}\right\} \subset \mathbb{R}^{5} e os sistemas lineares representados pelas suas matrizes aumentadas:
S_{1}:\left[\begin{array}{lll} \vec{v}_{1} & \vec{v}_{2} & \vec{v}_{3} \mid \overrightarrow{0} \end{array}\right] \quad \text { e } \quad S_{2}:\left[\begin{array}{ll|l} \vec{v}_{1} & \vec{v}_{2} \mid \vec{v}_{3} \end{array}\right]
Considere as afirmativas abaixo:
I. Se \beta é LI, então S_{1} pode ter infinitas soluções.
II. Se \beta é LI, então S_{2} não tem solução.
III. Se \beta é LD, então S_{2} pode ter solução única.
(A) Só I e III são verdadeiras.
(B) Só I é verdadeira.
(C) Só II e III são verdadeiras.
(D) Todas são falsas.
(E) Todas são verdadeiras.
(F) Só III é verdadeira.
(G) Só I e II são verdadeiras.
(H) Só II é verdadeira.

Passo 1

Vou deixar claro o que o enunciado dá e o que cada sistema representa.
  • Dado \beta=\{\vec{v}_{1},\vec{v}_{2},\vec{v}_{3}\}\subset\mathbb{R}^{5}.
  • O sistema S_{1} é o sistema homogêneo representado por
\left[\begin{array}{lll} \vec{v}_{1} & \vec{v}_{2} & \vec{v}_{3} \mid \overrightarrow{0} \end{array}\right],
ou seja, procurar (x_{1},x_{2},x_{3}) tais que
x_{1}\vec v_{1}+x_{2}\vec v_{2}+x_{3}\vec v_{3}=\overrightarrow{0}.
  • O sistema S_{2} é o sistema
\left[\begin{array}{ll|l} \vec{v}_{1} & \vec{v}_{2} \mid \vec{v}_{3} \end{array}\right],
ou seja, procurar (a,b) tais que
a\vec v_{1}+b\vec v_{2}=\vec v_{3}.
As afirmativas a avaliar são:
I. Se \beta é LI, então S_{1} pode ter infinitas soluções.
II. Se \beta é LI, então S_{2} não tem solução.
III. Se \beta é LD, então S_{2} pode ter solução única.

Passo 2

Revisão didática rápida sobre independência linear e soluções de sistemas homogêneos.
  • Definição: o conjunto \beta=\{\vec v_1,\vec v_2,\vec v_3\} é linearmente independente (LI) se a única solução do sistema homogêneo
x_{1}\vec v_{1}+x_{2}\vec v_{2}+x_{3}\vec v_{3}=\overrightarrow{0}
é x_{1}=x_{2}=x_{3}=0. Se existir uma combinação não-trivial (algum coeficiente não nulo) que dá o vetor zero, o conjunto é linearmente dependente (LD).
  • Consequência prática: para um sistema homogêneo com mais variáveis do que equações pode haver infinitas soluções, mas aqui o número de variáveis é 3 e as colunas são três vetores em \mathbb{R}^{5}; o que importa é se as colunas são LI ou não. Se as colunas são LI, o sistema homogêneo tem apenas a solução trivial; se são LD, há soluções não-triviais (infinitas, porque se existe uma solução não-trivial, todo múltiplo também é solução e o espaço de soluções é um subespaço de dimensão \ge1).
Aplicando isso a S_{1}: se \beta é LI, então a única solução é a trivial. Logo a afirmação I (“pode ter infinitas soluções”) é falsa — na verdade, se \beta é LI, S_{1} tem exatamente uma solução (a trivial).

Passo 3

Análise de S_{2} quando \beta é LI (afirmação II).
  • Se \beta é LI, por definição \vec v_{3} não pode ser combinação linear de \vec v_{1} e \vec v_{2}. Em termos de sistema, a equação
a\vec v_{1}+b\vec v_{2}=\vec v_{3}
seria uma expressão de \vec v_{3} como combinação de \vec v_{1},\vec v_{2}. Mas isso contradiz a independência de \{\vec v_1,\vec v_2,\vec v_3\}. Portanto, quando \beta é LI, não existe (a,b) satisfazendo a equação; o sistema S_{2} é inconsistente (sem solução).
  • Conclusão: a afirmativa II é verdadeira.

Passo 4

Análise de S_{2} quando \beta é LD (afirmação III) — explicação do porquê pode haver solução única.
  • Quando \beta é LD, isso só diz que existe uma relação linear não-trivial entre \vec v_{1},\vec v_{2},\vec v_{3}. Existem casos diferentes:
    1. Pode ocorrer que \vec v_{3} esteja no subespaço gerado por \{\vec v_{1},\vec v_{2}\}. Nesse caso existe pelo menos uma solução (a,b) do sistema a\vec v_1+b\vec v_2=\vec v_3.
    2. Pode ocorrer que \vec v_{3} não esteja no span de \{\vec v_{1},\vec v_{2}\}; então S_{2} seria inconsistente.
    3. Além disso, mesmo se \beta é LD, é possível que \vec v_{1} e \vec v_{2} sejam LI entre si (ou seja, \operatorname{rank}\{\vec v_1,\vec v_2\}=2). Se isto ocorrer e \vec v_{3} estiver no span de \{\vec v_{1},\vec v_{2}\}, então a representação de \vec v_{3} como combinação linear de \vec v_{1},\vec v_{2} é única — logo S_{2} tem solução única.
  • Para fixar a ideia, um exemplo concreto (muito simples) que cabe em \mathbb{R}^{5}: tome
\vec v_{1}=(1,0,0,0,0),\qquad \vec v_{2}=(0,1,0,0,0),\qquad \vec v_{3}=(1,1,0,0,0).
Aqui \vec v_{3}=\vec v_{1}+\vec v_{2}, então \beta é LD. Ao mesmo tempo \vec v_{1} e \vec v_{2} são LI (não múltiplos um do outro), e a equação
a\vec v_{1}+b\vec v_{2}=\vec v_{3}
tem a solução única a=1,b=1. Isso mostra que, sob \beta LD, S_{2} pode sim ter solução única.
  • Conclusão: a afirmativa III é verdadeira (a palavra-chave é “pode”: existe pelo menos um caso em que ocorre solução única).

Passo 5

Resumo das verdades:
  • I é falsa.
  • II é verdadeira.
  • III é verdadeira.
Logo as afirmativas verdadeiras são II e III.

Resposta

(C)

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