Q8: Considere
e os sistemas lineares representados pelas suas matrizes aumentadas:
Considere as afirmativas abaixo:
I. Se
é LI, então
pode ter infinitas soluções.
II. Se
é LI, então
não tem solução.
III. Se
é LD, então
pode ter solução única.
(A) Só I e III são verdadeiras.
(B) Só I é verdadeira.
(C) Só II e III são verdadeiras.
(D) Todas são falsas.
(E) Todas são verdadeiras.
(F) Só III é verdadeira.
(G) Só I e II são verdadeiras.
(H) Só II é verdadeira.
I. Se
II. Se
III. Se
(A) Só I e III são verdadeiras.
(B) Só I é verdadeira.
(C) Só II e III são verdadeiras.
(D) Todas são falsas.
(E) Todas são verdadeiras.
(F) Só III é verdadeira.
(G) Só I e II são verdadeiras.
(H) Só II é verdadeira.
Passo 1
Vou deixar claro o que o enunciado dá e o que cada sistema representa.
- Dado
. - O sistema
é o sistema homogêneo representado por
ou seja, procurar
tais que
- O sistema
é o sistema
ou seja, procurar
tais que
As afirmativas a avaliar são:
I. Se é LI, então
pode ter infinitas soluções.
II. Se é LI, então
não tem solução.
III. Se é LD, então
pode ter solução única.
I. Se
II. Se
III. Se
Passo 2
Revisão didática rápida sobre independência linear e soluções de sistemas homogêneos.
- Definição: o conjunto
é linearmente independente (LI) se a única solução do sistema homogêneo
é
. Se existir uma combinação não-trivial (algum coeficiente não nulo) que dá o vetor zero, o conjunto é linearmente dependente (LD).
- Consequência prática: para um sistema homogêneo com mais variáveis do que equações pode haver infinitas soluções, mas aqui o número de variáveis é
e as colunas são três vetores em ; o que importa é se as colunas são LI ou não. Se as colunas são LI, o sistema homogêneo tem apenas a solução trivial; se são LD, há soluções não-triviais (infinitas, porque se existe uma solução não-trivial, todo múltiplo também é solução e o espaço de soluções é um subespaço de dimensão ).
Aplicando isso a
: se
é LI, então a única solução é a trivial. Logo a afirmação I (“pode ter infinitas soluções”) é falsa — na verdade, se
é LI,
tem exatamente uma solução (a trivial).
Passo 3
Análise de
quando
é LI (afirmação II).
- Se
é LI, por definição não pode ser combinação linear de e . Em termos de sistema, a equação
seria uma expressão de
como combinação de
. Mas isso contradiz a independência de
. Portanto, quando
é LI, não existe
satisfazendo a equação; o sistema
é inconsistente (sem solução).
- Conclusão: a afirmativa II é verdadeira.
Passo 4
Análise de
quando
é LD (afirmação III) — explicação do porquê pode haver solução única.
-
Quando
é LD, isso só diz que existe uma relação linear não-trivial entre . Existem casos diferentes: - Pode ocorrer que
esteja no subespaço gerado por . Nesse caso existe pelo menos uma solução do sistema . - Pode ocorrer que
não esteja no span de ; então seria inconsistente. - Além disso, mesmo se
é LD, é possível que e sejam LI entre si (ou seja, ). Se isto ocorrer e estiver no span de , então a representação de como combinação linear de é única — logo tem solução única.
- Pode ocorrer que
-
Para fixar a ideia, um exemplo concreto (muito simples) que cabe em
: tome
Aqui
, então
é LD. Ao mesmo tempo
e
são LI (não múltiplos um do outro), e a equação
tem a solução única
. Isso mostra que, sob
LD,
pode sim ter solução única.
- Conclusão: a afirmativa III é verdadeira (a palavra-chave é “pode”: existe pelo menos um caso em que ocorre solução única).
Passo 5
Resumo das verdades:
- I é falsa.
- II é verdadeira.
- III é verdadeira.
Logo as afirmativas verdadeiras são II e III.
Resposta
(C)