Q11: Considere as afirmativas abaixo:
I. O conjunto \{(0,0,0,0)\} \subset \mathbb{R}^{4} é um subespaço vetorial.
II. O conjunto de todos os polinômios de grau máximo 2 tais que p(3)=5+p(9) é um subespaço vetorial.
III. O conjunto-solução de um sistema linear homogêneo é um subespaço vetorial.
(A) Só II e III são verdadeiras.
(B) Só I e III são verdadeiras.
(C) Todas são verdadeiras.
(D) Só I e II são verdadeiras.
(E) Só I é verdadeira.
(F) Só III é verdadeira.
(G) Todas são falsas.
(H) Só II é verdadeira.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que ele pede.
  • São dadas três afirmativas sobre subespaços vetoriais:
    I. O conjunto \{(0,0,0,0)\} \subset \mathbb{R}^{4} é um subespaço vetorial.
    II. O conjunto de todos os polinômios de grau máximo 2 tais que p(3)=5+p(9) é um subespaço vetorial.
    III. O conjunto-solução de um sistema linear homogêneo é um subespaço vetorial.
  • O enunciado pede que se identifique quais afirmativas são verdadeiras entre as opções:
    (A) Só II e III são verdadeiras.
    (B) Só I e III são verdadeiras.
    (C) Todas são verdadeiras.
    (D) Só I e II são verdadeiras.
    (E) Só I é verdadeira.
    (F) Só III é verdadeira.
    (G) Todas são falsas.
    (H) Só II é verdadeira.

Passo 2

Primeiro, o que significa ser um subespaço vetorial? Vou explicar de um jeito bem prático e direto.
  • Seja V um espaço vetorial (por exemplo \mathbb{R}^4 ou o espaço dos polinômios de grau \le 2). Um subconjunto W\subset V é subespaço vetorial se e somente se:
    1. W não é vazio (uma forma prática: contém o vetor zero de V);
    2. W é fechado sob adição: para quaisquer u,v\in W, tem-se u+v\in W;
    3. W é fechado sob multiplicação escalar: para qualquer escalar \alpha\in\mathbb{R} e qualquer u\in W, tem-se \alpha u\in W.
  • Observação prática muito útil: basta verificar que o vetor zero está em W e que W é fechado sob soma e multiplicação por escalares. Se faltar o zero, já dá para eliminar como subespaço.

Passo 3

Analisando a afirmativa I: \{(0,0,0,0)\}\subset\mathbb{R}^4.
  • Verificar presença do zero: o conjunto contém exatamente o vetor zero (0,0,0,0), então contém o vetor zero — condição necessária satisfeita.
  • Fechamento sob adição: (0,0,0,0)+(0,0,0,0)=(0,0,0,0), portanto fechado sob soma.
  • Fechamento sob multiplicação escalar: para qualquer \alpha\in\mathbb{R}, \alpha\,(0,0,0,0)=(\alpha\cdot 0,\alpha\cdot 0,\alpha\cdot 0,\alpha\cdot 0)=(0,0,0,0),logo fechado sob multiplicação por escalares.
Conclusão: todas as condições estão satisfeitas; a afirmativa I é verdadeira. (Esse conjunto é chamado de subespaço trivial.)

Passo 4

Analisando a afirmativa II: conjunto S=\{\,p\in P_2 \mid p(3)=5+p(9)\,\}, onde P_2 é o espaço dos polinômios reais de grau \le 2.
  • Teste do vetor zero (polinômio zero): considere p_0(x)=0 para todo x. Então
    p_0(3)=0,\qquad p_0(9)=0.
    A condição exigida seria 0 = 5 + 0, isto é 0=5, que é falsa. Logo p_0\notin S.
  • Como o polinômio zero não pertence a S, o conjunto S não contém o vetor zero do espaço P_2. Pela propriedade fundamental de subespaços, isso já é suficiente para concluir que S não é um subespaço vetorial.
  • Comentário adicional (para fixar a intuição): se S fosse subespaço, deveria ser fechado por multiplicação por 0. Pegue qualquer p\in S; então 0\cdot p deveria estar em S. Mas 0\cdot p=p_0 não satisfaz a condição, contradição.
Conclusão: a afirmativa II é falsa.

Passo 5

Analisando a afirmativa III: “O conjunto-solução de um sistema linear homogêneo é um subespaço vetorial.”
  • Formalizando: um sistema linear homogêneo tem a forma A x = 0, onde A é uma matriz real e o lado direito é o vetor zero. O conjunto-solução é W=\{x\in\mathbb{R}^n \mid A x = 0\}.
  • Verificação das três propriedades:
    1. O vetor x=0 satisfaz A0=0, então 0\in W.
    2. Fechamento por soma: se x,y\in W, então A(x+y)=Ax+Ay=0+0=0, logo x+y\in W.
    3. Fechamento por multiplicação escalar: se x\in W e \alpha\in\mathbb{R}, então A(\alpha x)=\alpha(Ax)=\alpha 0=0, logo \alpha x\in W.
  • Essas três verificações mostram que o conjunto solução de Ax=0 é um subespaço vetorial de \mathbb{R}^n.
  • Observação pedagógica: é importante que o sistema seja homogêneo (lado direito zero). Para um sistema não-homogêneo Ax=b com b\neq0 a solução, quando existe, é um conjunto afim (uma reta/um plano deslocado) e não contém o zero em geral, logo não é subespaço.
Conclusão: a afirmativa III é verdadeira.

Passo 6

Resumo das verdades:
  • I é verdadeira.
  • II é falsa.
  • III é verdadeira.
Portanto a opção correta é a que diz “Só I e III são verdadeiras”, que é a alternativa (B).

Resposta

(B) Só I e III são verdadeiras.

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