Q11: Considere as afirmativas abaixo:
I. O conjunto
é um subespaço vetorial.
II. O conjunto de todos os polinômios de grau máximo 2 tais que
é um subespaço vetorial.
III. O conjunto-solução de um sistema linear homogêneo é um subespaço vetorial.
(A) Só II e III são verdadeiras.
(B) Só I e III são verdadeiras.
(C) Todas são verdadeiras.
(D) Só I e II são verdadeiras.
(E) Só I é verdadeira.
(F) Só III é verdadeira.
(G) Todas são falsas.
(H) Só II é verdadeira.
I. O conjunto
II. O conjunto de todos os polinômios de grau máximo 2 tais que
III. O conjunto-solução de um sistema linear homogêneo é um subespaço vetorial.
(A) Só II e III são verdadeiras.
(B) Só I e III são verdadeiras.
(C) Todas são verdadeiras.
(D) Só I e II são verdadeiras.
(E) Só I é verdadeira.
(F) Só III é verdadeira.
(G) Todas são falsas.
(H) Só II é verdadeira.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que ele pede.
-
São dadas três afirmativas sobre subespaços vetoriais:
I. O conjuntoé um subespaço vetorial.
II. O conjunto de todos os polinômios de grau máximotais que é um subespaço vetorial.
III. O conjunto-solução de um sistema linear homogêneo é um subespaço vetorial. -
O enunciado pede que se identifique quais afirmativas são verdadeiras entre as opções:
(A) Só II e III são verdadeiras.
(B) Só I e III são verdadeiras.
(C) Todas são verdadeiras.
(D) Só I e II são verdadeiras.
(E) Só I é verdadeira.
(F) Só III é verdadeira.
(G) Todas são falsas.
(H) Só II é verdadeira.
Passo 2
Primeiro, o que significa ser um subespaço vetorial? Vou explicar de um jeito bem prático e direto.
-
Seja
um espaço vetorial (por exemplo ou o espaço dos polinômios de grau ). Um subconjunto é subespaço vetorial se e somente se: -
não é vazio (uma forma prática: contém o vetor zero de ); -
é fechado sob adição: para quaisquer , tem-se ; -
é fechado sob multiplicação escalar: para qualquer escalar e qualquer , tem-se .
-
-
Observação prática muito útil: basta verificar que o vetor zero está em
e que é fechado sob soma e multiplicação por escalares. Se faltar o zero, já dá para eliminar como subespaço.
Passo 3
Analisando a afirmativa I:
.
- Verificar presença do zero: o conjunto contém exatamente o vetor zero
, então contém o vetor zero — condição necessária satisfeita. - Fechamento sob adição:
, portanto fechado sob soma. - Fechamento sob multiplicação escalar: para qualquer
, logo fechado sob multiplicação por escalares.
Conclusão: todas as condições estão satisfeitas; a afirmativa I é verdadeira. (Esse conjunto é chamado de subespaço trivial.)
Passo 4
Analisando a afirmativa II: conjunto
, onde
é o espaço dos polinômios reais de grau
.
-
Teste do vetor zero (polinômio zero): considere
para todo . Então A condição exigida seria, isto é , que é falsa. Logo . -
Como o polinômio zero não pertence a
, o conjunto não contém o vetor zero do espaço . Pela propriedade fundamental de subespaços, isso já é suficiente para concluir que não é um subespaço vetorial. -
Comentário adicional (para fixar a intuição): se
fosse subespaço, deveria ser fechado por multiplicação por . Pegue qualquer ; então deveria estar em . Mas não satisfaz a condição, contradição.
Conclusão: a afirmativa II é falsa.
Passo 5
Analisando a afirmativa III: “O conjunto-solução de um sistema linear homogêneo é um subespaço vetorial.”
-
Formalizando: um sistema linear homogêneo tem a forma
, onde é uma matriz real e o lado direito é o vetor zero. O conjunto-solução é . -
Verificação das três propriedades:
- O vetor
satisfaz , então . - Fechamento por soma: se
, então , logo . - Fechamento por multiplicação escalar: se
e , então , logo .
- O vetor
-
Essas três verificações mostram que o conjunto solução de
é um subespaço vetorial de . -
Observação pedagógica: é importante que o sistema seja homogêneo (lado direito zero). Para um sistema não-homogêneo
com a solução, quando existe, é um conjunto afim (uma reta/um plano deslocado) e não contém o zero em geral, logo não é subespaço.
Conclusão: a afirmativa III é verdadeira.
Passo 6
Resumo das verdades:
- I é verdadeira.
- II é falsa.
- III é verdadeira.
Portanto a opção correta é a que diz “Só I e III são verdadeiras”, que é a alternativa (B).
Resposta
(B) Só I e III são verdadeiras.