Q14: Introduzimos em
, espaço vetorial dos polinômios reais de grau menor ou igual a 2 , o produto interno:
Assinale a projeção ortogonal de
na reta gerada por
.
Atividade adicional (opcional): após resolver este problema, será útil para interpretar o resultado fazer o seguinte. Use um software para plotar os gráficos de
e
, para alguns valores de
. O observe que a melhor aproximação de
no intervalo
por um múltiplo de
é dada pela projeção ortogonal que você calculou (observe que a melhor aproximação depende do intervalo escolhido; por exemplo em
a melhor aproximação será outra).
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
(F)
(G)
(H)
Atividade adicional (opcional): após resolver este problema, será útil para interpretar o resultado fazer o seguinte. Use um software para plotar os gráficos de
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
(F)
(G)
(H)
Passo 1
O enunciado dá o espaço vetorial
com produto interno
e fornece os polinômios
e
A pergunta é: qual é a projeção ortogonal de
na reta gerada por
? Em outras palavras, queremos o polinômio da forma
que é a projeção ortogonal de
sobre
.
Passo 2
Fórmula e ideia: a projeção ortogonal de
sobre a reta gerada por
é o múltiplo
onde
é determinado pela condição de ortogonalidade do erro
com
, isto é
Desenvolvendo essa condição chega-se à fórmula bem conhecida
Aqui
e
são integrais definidas no intervalo
conforme o produto interno dado.
Passo 3
Calcular o numerador
. Primeiro multiplicamos
por
:
Expandindo termo a termo:
Somando:
Agora integramos de
a
:
Calcule cada integral:
Somando:
Passo 4
Calcular o denominador
:
Compute as integrais:
Assim
e finalmente
Passo 5
Calcular
:
Logo a projeção é
Multiplicando:
portanto
Passo 6
Comparando com as alternativas dadas, a expressão encontrada corresponde à alternativa (F).
Resposta
(F)