Q14: Introduzimos em \mathcal{P}_{2}, espaço vetorial dos polinômios reais de grau menor ou igual a 2 , o produto interno:
\langle p, q\rangle=\int_{0}^{1} p(x) q(x) d x
Assinale a projeção ortogonal de p(x)=3 x^{2}-x+3 na reta gerada por q(x)=3 x-3.
Atividade adicional (opcional): após resolver este problema, será útil para interpretar o resultado fazer o seguinte. Use um software para plotar os gráficos de p(x) e k q(x), para alguns valores de k. O observe que a melhor aproximação de 3 x^{2}-x+3 no intervalo [0,1] por um múltiplo de 3 x-3 é dada pela projeção ortogonal que você calculou (observe que a melhor aproximação depende do intervalo escolhido; por exemplo em [0,2] a melhor aproximação será outra).
(A) -\frac{21 x^{2}}{4}+\frac{7 x}{4}-\frac{21}{4}
(B) -\frac{9 x^{2}}{2}+\frac{3 x}{2}-\frac{9}{2}
(C) \frac{21}{4}-\frac{21 x}{4}
(D) 5-5 x
(E) -\frac{19 x^{2}}{4}+\frac{19 x}{12}-\frac{19}{4}
(F) \frac{19}{4}-\frac{19 x}{4}
(G) -5 x^{2}+\frac{5 x}{3}-5
(H) \frac{9}{2}-\frac{9 x}{2}

Passo 1

O enunciado dá o espaço vetorial \mathcal{P}_{2} com produto interno
\langle p,q\rangle=\int_{0}^{1} p(x)q(x)\,dx,
e fornece os polinômios
p(x)=3x^{2}-x+3
e
q(x)=3x-3.
A pergunta é: qual é a projeção ortogonal de p na reta gerada por q? Em outras palavras, queremos o polinômio da forma k\,q(x) que é a projeção ortogonal de p sobre \mathrm{span}\{q\}.

Passo 2

Fórmula e ideia: a projeção ortogonal de p sobre a reta gerada por q é o múltiplo
\mathrm{proj}_{\langle q\rangle} p = \alpha\,q,
onde \alpha é determinado pela condição de ortogonalidade do erro p-\alpha q com q, isto é
\langle p-\alpha q,\,q\rangle=0.
Desenvolvendo essa condição chega-se à fórmula bem conhecida
\alpha=\frac{\langle p,q\rangle}{\langle q,q\rangle}.
Aqui \langle p,q\rangle e \langle q,q\rangle são integrais definidas no intervalo [0,1] conforme o produto interno dado.

Passo 3

Calcular o numerador \langle p,q\rangle. Primeiro multiplicamos p(x) por q(x):
p(x)q(x)=(3x^{2}-x+3)(3x-3).
Expandindo termo a termo:
(3x^{2})(3x-3)=9x^{3}-9x^{2},
(-x)(3x-3)=-3x^{2}+3x,
3(3x-3)=9x-9.
Somando:
p(x)q(x)=9x^{3}-12x^{2}+12x-9.
Agora integramos de 0 a 1:
\langle p,q\rangle=\int_{0}^{1} \bigl(9x^{3}-12x^{2}+12x-9\bigr)\,dx.
Calcule cada integral:
\int_{0}^{1}9x^{3}\,dx=9\cdot\frac{1}{4}=\frac{9}{4},
\int_{0}^{1}-12x^{2}\,dx=-12\cdot\frac{1}{3}=-4,
\int_{0}^{1}12x\,dx=12\cdot\frac{1}{2}=6,
\int_{0}^{1}-9\,dx=-9.
Somando:
\langle p,q\rangle=\frac{9}{4}-4+6-9=\frac{9-28}{4}=-\frac{19}{4}.

Passo 4

Calcular o denominador \langle q,q\rangle:
\langle q,q\rangle=\int_{0}^{1}(3x-3)^{2}\,dx=\int_{0}^{1}9(x-1)^{2}\,dx=9\int_{0}^{1}(x^{2}-2x+1)\,dx.
Compute as integrais:
\int_{0}^{1}x^{2}\,dx=\frac{1}{3},\quad \int_{0}^{1}-2x\,dx=-1,\quad \int_{0}^{1}1\,dx=1.
Assim
\int_{0}^{1}(x^{2}-2x+1)\,dx=\frac{1}{3}-1+1=\frac{1}{3},
e finalmente
\langle q,q\rangle=9\cdot\frac{1}{3}=3.

Passo 5

Calcular \alpha:
\alpha=\frac{\langle p,q\rangle}{\langle q,q\rangle}=\frac{-\frac{19}{4}}{3}=-\frac{19}{12}.
Logo a projeção é
\mathrm{proj}_{\langle q\rangle} p=\alpha\,q=-\frac{19}{12}(3x-3).
Multiplicando:
-\frac{19}{12}\cdot 3x=-\frac{19}{4}x,\qquad -\frac{19}{12}\cdot(-3)=\frac{19}{4},
portanto
\mathrm{proj}_{\langle q\rangle} p=\frac{19}{4}-\frac{19}{4}x.

Passo 6

Comparando com as alternativas dadas, a expressão encontrada corresponde à alternativa (F).

Resposta

(F) \frac{19}{4}-\frac{19 x}{4}

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