Q12: Sejam \vec{v}=(10,1,-1,0) e
H=\left\{(x, y, z, w) \in \mathbb{R}^{4} \mid x+3 y-2 z+w=0\right\} .
Calcule \vec{w}=P_{H} \vec{v}, a projeção ortogonal de \vec{v} sobre H.
O valor de w_{3}, a 3^{\text {a }} entrada de \vec{w}, é:
Dica: Projete \vec{v} em H^{\perp}. Procure entender por que isto é mais fácil.
(A) 1
(B) 2
(C) 3
(D) 4
(E) 5
(F) 6
(G) 7
(H) 8

Passo 1

O enunciado dá o vetor \vec{v}=(10,1,-1,0) e o subespaço
H=\{(x,y,z,w)\in\mathbb{R}^4 \mid x+3y-2z+w=0\}.
Pede-se calcular \vec{w}=P_H\vec{v}, a projeção ortogonal de \vec{v} sobre H, e especificamente encontrar w_3, a terceira entrada de \vec{w}.
Informações relevantes fornecidas:
  • \vec{v}=(10,1,-1,0).
  • A equação que define H é x+3y-2z+w=0.

Passo 2

Por que projetar em H^\perp é mais fácil?
Qualquer vetor \vec{v} em \mathbb{R}^4 pode ser escrito de forma única como soma
\vec{v}=\vec{w}+\vec{u},
onde \vec{w}\in H (a projeção que queremos) e \vec{u}\in H^\perp (a componente ortogonal). Então
\vec{w}=\vec{v}-\vec{u}.
Se H^\perp for de dimensão 1 (como é o caso de um hiperplano definido por uma única equação linear), \vec{u} está na reta gerada por um vetor normal \vec{n} — projetar em uma reta é simples. Por isso é conveniente primeiro encontrar \vec{u}=\operatorname{proj}_{H^\perp}\vec{v} e depois \vec{w}=\vec{v}-\vec{u}.

Passo 3

Identificar o vetor normal \vec{n} de H.
A equação x+3y-2z+w=0 diz exatamente que todo vetor em H é ortogonal ao vetor normal
\vec{n}=(1,3,-2,1).
Portanto H^\perp=\operatorname{span}\{\vec{n}\}.

Passo 4

Fórmula da projeção ortogonal de \vec{v} sobre a reta gerada por \vec{n}:
Se \vec{n}\neq\vec{0}, a projeção de \vec{v} em \operatorname{span}\{\vec{n}\} é
\operatorname{proj}_{\vec{n}}(\vec{v})=\frac{\vec{v}\cdot\vec{n}}{\vec{n}\cdot\vec{n}}\,\vec{n}.
Explicando cada símbolo:
  • \vec{v}\cdot\vec{n} é o produto escalar (soma dos produtos das componentes).
  • \vec{n}\cdot\vec{n} é o quadrado da norma de \vec{n}.
  • O coeficiente \dfrac{\vec{v}\cdot\vec{n}}{\vec{n}\cdot\vec{n}} é um escalar que dá quanto de \vec{n} compõe \vec{v}.

Passo 5

Calcular \vec{v}\cdot\vec{n}.
\vec{v}\cdot\vec{n}=10\cdot1 + 1\cdot3 + (-1)\cdot(-2) + 0\cdot1.
Fazendo as contas passo a passo:
10\cdot1 = 10,\quad 1\cdot3 = 3,\quad (-1)\cdot(-2)=2,\quad 0\cdot1=0,
portanto
\vec{v}\cdot\vec{n}=10+3+2+0=15.

Passo 6

Calcular \vec{n}\cdot\vec{n} (o quadrado da norma de \vec{n}).
\vec{n}\cdot\vec{n}=1^2+3^2+(-2)^2+1^2=1+9+4+1=15.

Passo 7

Calcular a projeção de \vec{v} em H^\perp:
\operatorname{proj}_{\vec{n}}(\vec{v})=\frac{\vec{v}\cdot\vec{n}}{\vec{n}\cdot\vec{n}}\,\vec{n}=\frac{15}{15}\,\vec{n}=1\cdot\vec{n}=\vec{n}=(1,3,-2,1).
Logo a componente ortogonal \vec{u}=\operatorname{proj}_{H^\perp}\vec{v} é (1,3,-2,1).

Passo 8

Obter a projeção em H subtraindo essa componente ortogonal:
\vec{w}=\vec{v}-\vec{u}=(10,1,-1,0)-(1,3,-2,1).
Calcule componente a componente:
10-1=9,\quad 1-3=-2,\quad -1-(-2)= -1+2=1,\quad 0-1=-1.
Portanto
\vec{w}=(9,-2,1,-1).

Passo 9

Identificar w_3, a terceira entrada de \vec{w}. Da coordenada acima:
w_3=1.

Resposta

(A) 1

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