Q12: Sejam
e
Calcule
, a projeção ortogonal de
sobre
.
O valor de
, a
entrada de
, é:
Dica: Projete
em
. Procure entender por que isto é mais fácil.
(A) 1
(B) 2
(C) 3
(D) 4
(E) 5
(F) 6
(G) 7
(H) 8
O valor de
Dica: Projete
(A) 1
(B) 2
(C) 3
(D) 4
(E) 5
(F) 6
(G) 7
(H) 8
Passo 1
O enunciado dá o vetor
e o subespaço
Pede-se calcular
, a projeção ortogonal de
sobre
, e especificamente encontrar
, a terceira entrada de
.
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
-
. - A equação que define
é .
Passo 2
Por que projetar em
é mais fácil?
Qualquer vetor em
pode ser escrito de forma única como soma
Qualquer vetor
onde
(a projeção que queremos) e
(a componente ortogonal). Então
Se
for de dimensão
(como é o caso de um hiperplano definido por uma única equação linear),
está na reta gerada por um vetor normal
— projetar em uma reta é simples. Por isso é conveniente primeiro encontrar
e depois
.
Passo 3
Identificar o vetor normal
de
.
A equação diz exatamente que todo vetor em
é ortogonal ao vetor normal
A equação
Portanto
.
Passo 4
Fórmula da projeção ortogonal de
sobre a reta gerada por
:
Se , a projeção de
em
é
Se
Explicando cada símbolo:
-
é o produto escalar (soma dos produtos das componentes). -
é o quadrado da norma de . - O coeficiente
é um escalar que dá quanto de compõe .
Passo 5
Calcular
.
Fazendo as contas passo a passo:
portanto
Passo 6
Calcular
(o quadrado da norma de
).
Passo 7
Calcular a projeção de
em
:
Logo a componente ortogonal
é
.
Passo 8
Obter a projeção em
subtraindo essa componente ortogonal:
Calcule componente a componente:
Portanto
Passo 9
Identificar
, a terceira entrada de
. Da coordenada acima:
Resposta
(A) 1