Q13: Em um determinado fenômeno físico, uma grandeza Z depende de duas variáveis de controle x e y. O modelo matemático para esta dependência é Z=a x^{2}+b y+c, onde os parâmetros a, b e c dependem do arranjo experimental. Para se determinar estes parâmetros, foram realizadas 7 medições de Z para diferentes configurações de x e y e os resultados obtidos estão na tabela abaixo:
x y Z
-3 2 23.6
-2 5 25.9
-1 3 9.8
0 5 18.2
1 -5 -22.3
2 -4 -12.5
3 -2 8.2
Com base nos dados experimentais acima, ajuste os parâmetros a, b e c de forma a minimizar (no sentido dos mínimos quadrados) o desvio entre o modelo e os dados. Feito isto, calcule o valor de Z previsto pelo modelo ajustado para (x, y)=(9,6). Assinale a melhor aproximação para esse valor, dentre as opções abaixo.
Sugestão: Use algum software para resolver este problema. Pode ser uma planilha ou alguma linguagem de programação (como Python ou Octave, por exemplo). Vários destes ambientes estão disponíveis online.
(A) 190.3
(B) 191.3
(C) 192.3
(D) 193.3
(E) 194.3
(F) 195.3
(G) 196.3
(H) 197.3

Passo 1

O enunciado pede duas coisas claras:
  • Ajustar os parâmetros a, b e c do modelo Z=a x^{2}+b y+c de modo a minimizar, no sentido dos mínimos quadrados, o desvio entre o modelo e os 7 dados experimentais.
  • Usar o modelo ajustado para prever Z em (x,y)=(9,6) e escolher a melhor aproximação entre as opções dadas.
Peguei os 7 dados da tabela do enunciado (cada linha é um triplo (x,y,Z)):
  • (-3,\,2,\,23{,}6)
  • (-2,\,5,\,25{,}9)
  • (-1,\,3,\,9{,}8)
  • (0,\,5,\,18{,}2)
  • (1,\,-5,\,-22{,}3)
  • (2,\,-4,\,-12{,}5)
  • (3,\,-2,\,8{,}2)
Vou ajustar os parâmetros pelo método dos mínimos quadrados lineares (explico o método no Passo 2) e depois calcular Z(9,6).

Passo 2

Breve explicação do método (aula curta e direta).
Queremos achar \theta=(a,b,c)^{T} que minimize a soma dos quadrados dos resíduos
S(\theta)=\sum_{i=1}^{7}\big(Z_{i}-a x_{i}^{2}-b y_{i}-c\big)^{2}.
Isto é um problema linear em \theta porque as funções base são x^{2}, y e 1. Monta-se a matriz de desenho A\in\mathbb{R}^{7\times3} com linhas \big[x_{i}^{2}\; y_{i}\; 1\big] e o vetor de observações z\in\mathbb{R}^{7} com entradas Z_{i}. A condição de mínimo leva às equações normais
A^{T}A\,\theta = A^{T} z.
Aqui \theta=(a,b,c)^{T}. Vou computar explicitamente A^{T}A e A^{T}z usando os dados.

Passo 3

Calcular as quantidades necessárias (usei os valores que peguei da tabela):
Primeiro calculei x^{2} para cada ponto e depois as somas necessárias:
Valores linha a linha (já listados no Passo 1):
  • x: -3,-2,-1,0,1,2,3.
  • y: 2,5,3,5,-5,-4,-2.
  • Z: 23{,}6,\;25{,}9,\;9{,}8,\;18{,}2,\;-22{,}3,\;-12{,}5,\;8{,}2.
  • x^{2}: 9,4,1,0,1,4,9.
Agora as somas (cada soma está mostrada com o valor que usei):
\begin{aligned} \sum x^{2} &= 9+4+1+0+1+4+9 = 28,\\[4pt] \sum y &= 2+5+3+5-5-4-2 = 4,\\[4pt] \sum 1 &= 7,\\[4pt] \sum x^{4} &= 9^{2}+4^{2}+1^{2}+0^{2}+1^{2}+4^{2}+9^{2} = 81+16+1+0+1+16+81 = 196,\\[4pt] \sum x^{2}y &= 9\cdot2 + 4\cdot5 + 1\cdot3 + 0\cdot5 + 1\cdot(-5) + 4\cdot(-4) + 9\cdot(-2) = 2,\\[4pt] \sum y^{2} &= 2^{2}+5^{2}+3^{2}+5^{2}+(-5)^{2}+(-4)^{2}+(-2)^{2} = 108. \end{aligned}
E os produtos com Z:
\begin{aligned} \sum x^{2}Z &= 9\cdot23{,}6 + 4\cdot25{,}9 + 1\cdot9{,}8 + 0\cdot18{,}2 + 1\cdot(-22{,}3) + 4\cdot(-12{,}5) + 9\cdot8{,}2 = 327{,}3,\\[4pt] \sum yZ &= 2\cdot23{,}6 +5\cdot25{,}9 +3\cdot9{,}8 +5\cdot18{,}2 +(-5)\cdot(-22{,}3) +(-4)\cdot(-12{,}5) +(-2)\cdot8{,}2 = 442{,}2,\\[4pt] \sum Z &= 23{,}6+25{,}9+9{,}8+18{,}2-22{,}3-12{,}5+8{,}2 = 50{,}9. \end{aligned}]

Passo 4

Formo as matrizes das equações normais. Usando as somas acima, o produto A^{T}A e A^{T}z são:
A^{T}A = \begin{pmatrix} \sum x^{4} & \sum x^{2}y & \sum x^{2} \\\ \sum x^{2}y & \sum y^{2} & \sum y \\\ \sum x^{2} & \sum y & \sum 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 196 & 2 & 28 \\\\ 2 & 108 & 4 \\\\ 28 & 4 & 7 \end{pmatrix},
A^{T}z = \begin{pmatrix} \sum x^{2}Z \\\ \sum yZ \\\ \sum Z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 327{,}3 \\\\ 442{,}2 \\\\ 50{,}9 \end{pmatrix}.
As equações normais são portanto
\begin{pmatrix} 196 & 2 & 28 \\\\ 2 & 108 & 4 \\\\ 28 & 4 & 7 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a\\\ b\\\ c\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 327{,}3 \\\\ 442{,}2 \\\\ 50{,}9 \end{pmatrix}.

Passo 5

Vou resolver o sistema linear por eliminação (mostro as operações e os números aproximados com boa precisão).
Matriz aumentada inicial:
\begin{pmatrix} 196 & 2 & 28 & | & 327{,}3\\[4pt] 2 & 108 & 4 & | & 442{,}2\\[4pt] 28 & 4 & 7 & | & 50{,}9 \end{pmatrix}.
Eliminação da coluna 1:
  • R_2 \leftarrow R_2 - \dfrac{2}{196}R_1,
  • R_3 \leftarrow R_3 - \dfrac{28}{196}R_1.
Após essas operações (mostrando valores numéricos):
\begin{pmatrix} 196 & 2 & 28 & | & 327{,}3\\[4pt] 0 & 107{,}9795918367 & 3{,}7142857143 & | & 438{,}8581632653\\[4pt] 0 & 3{,}7142857143 & 3 & | & 4{,}1428571429 \end{pmatrix}.]

Passo 6

Continuo a eliminação na segunda coluna:
fator f=\dfrac{3{,}7142857143}{107{,}9795918367}\approx 0{,}034398.
Faço R_3 \leftarrow R_3 - f\,R_2. Isso zera a entrada (3,2) e produz (valores aproximados):
\begin{pmatrix} 196 & 2 & 28 & | & 327{,}3\\[4pt] 0 & 107{,}9795918367 & 3{,}7142857143 & | & 438{,}8581632653\\[4pt] 0 & 0 & 2{,}872236\;(\text{aprox}) & | & -10{,}9529859571\;(\text{aprox}) \end{pmatrix}.]

Passo 7

Agora resolvo por substituição:
Da última linha:
2{,}872236\;c \approx -10{,}9529859571 \quad\Rightarrow\quad c \approx \frac{-10{,}9529859571}{2{,}872236} \approx -3{,}8134.
Da segunda linha:
107{,}9795918367\,b + 3{,}7142857143\,c = 438{,}8581632653.
Substituindo c\approx -3{,}8134:
b \approx \frac{438{,}8581632653 - 3{,}7142857143\cdot(-3{,}8134)}{107{,}9795918367} \approx 4{,}19544.
Da primeira linha:
196\,a + 2\,b + 28\,c = 327{,}3.
Substituindo b e c:
a \approx \frac{327{,}3 - 2\cdot 4{,}19544 - 28\cdot(-3{,}8134)}{196} \approx 2{,}171857.
Assim os parâmetros ajustados (aproximados) são:
a \approx 2{,}171857,\qquad b \approx 4{,}19544,\qquad c \approx -3{,}8134.

Passo 8

Calcular a previsão do modelo ajustado em (x,y)=(9,6):
Z(9,6)=a\cdot 9^{2} + b\cdot 6 + c = a\cdot 81 + 6b + c.
Substituindo os valores:
Z(9,6)\approx 2{,}171857\cdot81 + 6\cdot4{,}19544 - 3{,}8134.
Faço as contas:
2{,}171857\cdot81 \approx 175{,}9204283,\quad 6\cdot4{,}19544 \approx 25{,}17264.
Somando e subtraindo:
Z(9,6) \approx 175{,}9204283 + 25{,}17264 - 3{,}8134 \approx 197{,}2796683.
Arredondando na mesma precisão das opções, isso é \approx 197{,}28, ou seja aproximadamente 197{,}3.

Resposta

H) 197,3

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