Q14: Introduzimos em \mathcal{P}_{2}, espaço vetorial dos polinômios reais de grau menor ou igual a 2 , o produto interno:
\langle p, q\rangle=\int_{0}^{1} p(x) q(x) d x
Assinale a projeção ortogonal de p(x)=6 x^{2}-8 x+5 sobre \mathcal{P}_{1}.
Atividade adicional (opcional): após resolver este problema, será útil para interpretar o resultado fazer o seguinte. Use um software para plotar os gráficos de p e de a x+b, para diversos valores de a e b. O observe que melhor aproximação de p no intervalo [0,1] por um polinômio da forma a x+b é dada pela projeção ortogonal que você calculou (observe que a melhor aproximação depende do intervalo escolhido; por exemplo em [0, 2] a melhor aproximação seria outra).
(A) -2 x+5
(B) -8 x+4
(C) -8 x+5
(D) -5 x+5
(E) -5 x+4
(F) -2 x+4

Passo 1

O enunciado dá o espaço vetorial \mathcal{P}_{2} com o produto interno
\langle p,q\rangle=\int_{0}^{1} p(x)q(x)\,dx
e o polinômio
p(x)=6x^{2}-8x+5.
A tarefa é encontrar a projeção ortogonal de p sobre o subespaço \mathcal{P}_{1} (polinômios de grau \le 1), ou seja, encontrar o polinômio da forma \;a x+b\; que é a projeção de p em \mathcal{P}_{1}.
Informações relevantes listadas:
  • Produto interno definido por integração no intervalo [0,1].
  • Subespaço alvo é \mathcal{P}_{1}=\{a x+b\}.
  • Precisamos determinar a e b tal que a projeção de p sobre \mathcal{P}_{1} seja obtida.

Passo 2

Ideia matemática que vamos usar (explicada devagar, com gosto): a projeção ortogonal q de p sobre um subespaço S é caracterizada pela condição de que o erro p-q seja ortogonal a todo vetor de S. Aqui, S=\mathcal{P}_{1}, então p-q deve ser ortogonal a qualquer polinômio de grau \le1.
Em termos práticos, basta exigir que
\langle p-q,\,r\rangle=0
para uma base de \mathcal{P}_{1}. Uma base conveniente é \{1,x\}. Assim teremos duas equações:
\langle p-q,\,1\rangle=0 \qquad\text{e}\qquad \langle p-q,\,x\rangle=0.
Isso gera um sistema linear para a e b. É simples e direto — por isso escolhemos esse método.

Passo 3

Escrevemos o polinômio projetado genérico como
q(x)=a x+b.
Então
p(x)-q(x)=6x^{2}-8x+5-(a x+b)=6x^{2}-(8+a)x+(5-b).

Passo 4

Impondo \langle p-q,\,1\rangle=0:
\int_{0}^{1} \big(6x^{2}-(8+a)x+(5-b)\big)\,dx=0.
Calculemos a integral passo a passo:
\int_{0}^{1}6x^{2}\,dx=6\cdot\frac{1^{3}}{3}=2,
\int_{0}^{1}-(8+a)x\,dx=-(8+a)\cdot\frac{1^{2}}{2}= -\frac{8+a}{2},
\int_{0}^{1}(5-b)\,dx=(5-b)\cdot1=5-b.
Somando:
2 -\frac{8+a}{2} + (5-b)=0.
Multiplicando por 2 para evitar frações:
4 - (8+a) + 2(5-b)=0 \Rightarrow 4-8-a+10-2b=0.
Simplificando:
6 - a - 2b = 0.
Portanto obtemos a primeira equação linear:
a + 2b = 6.

Passo 5

Agora impondo \langle p-q,\,x\rangle=0:
\int_{0}^{1} \big(6x^{2}-(8+a)x+(5-b)\big)\,x\,dx=0,
isto é
\int_{0}^{1}\big(6x^{3}-(8+a)x^{2}+(5-b)x\big)\,dx=0.
Calculemos cada termo:
\int_{0}^{1}6x^{3}\,dx=6\cdot\frac{1^{4}}{4}=\frac{6}{4}=\frac{3}{2},
\int_{0}^{1}-(8+a)x^{2}\,dx=-(8+a)\cdot\frac{1^{3}}{3}=-\frac{8+a}{3},
\int_{0}^{1}(5-b)x\,dx=(5-b)\cdot\frac{1^{2}}{2}=\frac{5-b}{2}.
Somando:
\frac{3}{2}-\frac{8+a}{3}+\frac{5-b}{2}=0.
Multiplicando por 6 (mínimo múltiplo comum) para eliminar denominadores:
9 - 2(8+a) + 3(5-b)=0 \Rightarrow 9 -16 -2a +15 -3b=0.
Simplificando:
8 -2a -3b = 0.
Reescrevendo:
2a + 3b = 8.

Passo 6

Resolvemos o sistema linear obtido:
\begin{cases} a + 2b = 6,\\[4pt] 2a + 3b = 8. \end{cases}
Multiplicando a primeira equação por 2:
2a + 4b = 12.
Subtraindo a segunda equação:
(2a+4b)-(2a+3b)=12-8 \Rightarrow b = 4.
Substituindo b=4 na primeira equação:
a + 2\cdot 4 = 6 \Rightarrow a + 8 = 6 \Rightarrow a = -2.
Assim os coeficientes encontrados são a=-2 e b=4.]

Resposta

(F) -2 x+4

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