Q14: Introduzimos em
, espaço vetorial dos polinômios reais de grau menor ou igual a 2 , o produto interno:
Assinale a projeção ortogonal de
sobre
.
Atividade adicional (opcional): após resolver este problema, será útil para interpretar o resultado fazer o seguinte. Use um software para plotar os gráficos de
e de
, para diversos valores de
e
. O observe que melhor aproximação de
no intervalo
por um polinômio da forma
é dada pela projeção ortogonal que você calculou (observe que a melhor aproximação depende do intervalo escolhido; por exemplo em [0, 2] a melhor aproximação seria outra).
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
(F)
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
(F)
Passo 1
O enunciado dá o espaço vetorial
com o produto interno
e o polinômio
A tarefa é encontrar a projeção ortogonal de
sobre o subespaço
(polinômios de grau
), ou seja, encontrar o polinômio da forma
que é a projeção de
em
.
Informações relevantes listadas:
Informações relevantes listadas:
- Produto interno definido por integração no intervalo
. - Subespaço alvo é
. - Precisamos determinar
e tal que a projeção de sobre seja obtida.
Passo 2
Ideia matemática que vamos usar (explicada devagar, com gosto): a projeção ortogonal
de
sobre um subespaço
é caracterizada pela condição de que o erro
seja ortogonal a todo vetor de
. Aqui,
, então
deve ser ortogonal a qualquer polinômio de grau
.
Em termos práticos, basta exigir que
para uma base de
. Uma base conveniente é
. Assim teremos duas equações:
Isso gera um sistema linear para
e
. É simples e direto — por isso escolhemos esse método.
Passo 3
Escrevemos o polinômio projetado genérico como
Então
Passo 4
Impondo
:
Calculemos a integral passo a passo:
Somando:
Multiplicando por
para evitar frações:
Simplificando:
Portanto obtemos a primeira equação linear:
Passo 5
Agora impondo
:
isto é
Calculemos cada termo:
Somando:
Multiplicando por
(mínimo múltiplo comum) para eliminar denominadores:
Simplificando:
Reescrevendo:
Passo 6
Resolvemos o sistema linear obtido:
Multiplicando a primeira equação por
:
Subtraindo a segunda equação:
Substituindo
na primeira equação:
Assim os coeficientes encontrados são
e
.]
Resposta
(F)