Q12: Sejam \vec{v}=(-15,-5,12,-1) e
H=\left\{(x, y, z, w) \in \mathbb{R}^{4} \mid x-2 y+3 z+w=0\right\} .
Calcule \vec{w}=P_{H} \vec{v}, a projeção ortogonal de \vec{v} sobre H.
O valor de w_{3}, a 3^{\text {a }} entrada de \vec{w}, é:
Dica: Projete \vec{v} em H^{\perp}. Procure entender por que isto é mais fácil.
(A) 1
(B) 2
(C) 3
(D) 4
(E) 5
(F) 6
(G) 7
(H) 8

Passo 1

O enunciado dá o vetor \vec{v}=(-15,-5,12,-1) e o subespaço
H=\{(x,y,z,w)\in\mathbb{R}^4 \mid x-2y+3z+w=0\}.
Pede-se calcular \vec{w}=P_H\vec{v}, a projeção ortogonal de \vec{v} sobre H, e informar a terceira coordenada w_{3} de \vec{w}.
Informações relevantes fornecidas:
  • O vetor a ser projetado é \vec{v}=(-15,-5,12,-1).
  • A equação que define H é x-2y+3z+w=0, cuja normal será útil.
  • O que se pede: a terceira entrada de \vec{w}=P_H\vec{v}.

Passo 2

Ideia simples (por que projetar em H^\perp é mais fácil): a projeção ortogonal em H pode ser obtida subtraindo de \vec{v} a sua projeção sobre H^\perp. Em fórmula:
\vec{w}=P_H\vec{v}=\vec{v}-P_{H^\perp}\vec{v}.
Isto é útil porque H é um hiperplano definido por uma única equação linear, logo H^\perp é a reta gerada pelo vetor normal da equação. Assim a projeção em H^\perp é a projeção em um vetor (caso unidimensional), e essa projeção tem fórmula direta.
Lembrete da fórmula de projeção de um vetor \vec{v} sobre um vetor \vec{n}:
P_{\text{span}\{\vec{n}\}}(\vec{v})=\frac{\langle \vec{v},\vec{n}\rangle}{\|\vec{n}\|^2}\,\vec{n},
onde \langle\cdot,\cdot\rangle é o produto interno usual e \|\vec{n}\|^2=\langle\vec{n},\vec{n}\rangle.

Passo 3

Identificar o vetor normal \vec{n} de H. A equação x-2y+3z+w=0 tem vetor normal
\vec{n}=(1,-2,3,1).
Agora calculamos o produto interno \langle\vec{v},\vec{n}\rangle. Pelo produto escalar coordenada a coordenada:
\langle\vec{v},\vec{n}\rangle = (-15)\cdot 1 + (-5)\cdot(-2) + 12\cdot 3 + (-1)\cdot 1.
Calcule passo a passo:
(-15)\cdot 1 = -15,\quad (-5)\cdot(-2)=10,\quad 12\cdot 3=36,\quad (-1)\cdot 1=-1.
Somando:
\langle\vec{v},\vec{n}\rangle = -15 + 10 + 36 -1 = 30.

Passo 4

Calcular \|\vec{n}\|^2:
\|\vec{n}\|^2 = 1^2 + (-2)^2 + 3^2 + 1^2 = 1 + 4 + 9 + 1 = 15.

Passo 5

Calcular a projeção de \vec{v} em H^\perp=\operatorname{span}\{\vec{n}\} usando a fórmula:
P_{H^\perp}\vec{v} = \frac{\langle\vec{v},\vec{n}\rangle}{\|\vec{n}\|^2}\,\vec{n} = \frac{30}{15}\,\vec{n} = 2\,\vec{n}.
Portanto
P_{H^\perp}\vec{v} = 2\cdot(1,-2,3,1) = (2,-4,6,2).

Passo 6

Agora \vec{w}=P_H\vec{v}=\vec{v}-P_{H^\perp}\vec{v}. Subtraindo coordenada a coordenada:
\vec{w} = (-15,-5,12,-1) - (2,-4,6,2).
Calcule cada entrada:
-15-2=-17,\quad -5-(-4)=-1,\quad 12-6=6,\quad -1-2=-3.
Logo
\vec{w}=(-17,-1,6,-3).
A terceira entrada de \vec{w} é 6.

Passo 7

Mapeando para as opções dadas na questão, a opção correta que corresponde a w_{3}=6 é a alternativa (F).

Resposta

(F) 6

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