Q12: Sejam
e
Calcule
, a projeção ortogonal de
sobre
.
O valor de
, a
entrada de
, é:
Dica: Projete
em
. Procure entender por que isto é mais fácil.
(A) 1
(B) 2
(C) 3
(D) 4
(E) 5
(F) 6
(G) 7
(H) 8
O valor de
Dica: Projete
(A) 1
(B) 2
(C) 3
(D) 4
(E) 5
(F) 6
(G) 7
(H) 8
Passo 1
O enunciado dá o vetor
e o subespaço
Pede-se calcular
, a projeção ortogonal de
sobre
, e informar a terceira coordenada
de
.
Informações relevantes fornecidas:
- O vetor a ser projetado é
. - A equação que define
é , cuja normal será útil. - O que se pede: a terceira entrada de
.
Passo 2
Ideia simples (por que projetar em
é mais fácil): a projeção ortogonal em
pode ser obtida subtraindo de
a sua projeção sobre
. Em fórmula:
Isto é útil porque
é um hiperplano definido por uma única equação linear, logo
é a reta gerada pelo vetor normal da equação. Assim a projeção em
é a projeção em um vetor (caso unidimensional), e essa projeção tem fórmula direta.
Lembrete da fórmula de projeção de um vetor
sobre um vetor
:
onde
é o produto interno usual e
.
Passo 3
Identificar o vetor normal
de
. A equação
tem vetor normal
Agora calculamos o produto interno
. Pelo produto escalar coordenada a coordenada:
Calcule passo a passo:
Somando:
Passo 4
Calcular
:
Passo 5
Calcular a projeção de
em
usando a fórmula:
Portanto
Passo 6
Agora
. Subtraindo coordenada a coordenada:
Calcule cada entrada:
Logo
A terceira entrada de
é
.
Passo 7
Mapeando para as opções dadas na questão, a opção correta que corresponde a
é a alternativa (F).
Resposta
(F) 6