Q12: Sejam \vec{v}=(15,3,-3,0) e
H=\left\{(x, y, z, w) \in \mathbb{R}^{4} \mid x+2 y-3 z+w=0\right\} .
Calcule \vec{w}=P_{H} \vec{v}, a projeção ortogonal de \vec{v} sobre H.
O valor de w_{3}, a 3^{\mathrm{a}} entrada de \vec{w}, é:
Dica: Projete \vec{v} em H^{\perp}. Procure entender por que isto é mais fácil.
(A) 1
(B) 2
(C) 3
(D) 4
(E) 5
(F) 6

Passo 1

O enunciado dá a vector \vec{v}=(15,3,-3,0) e o subespaço
H=\{(x,y,z,w)\in\mathbb{R}^4 \mid x+2y-3z+w=0\}.
Pede-se calcular \vec{w}=P_H\vec{v}, a projeção ortogonal de \vec{v} sobre H, e em particular o valor da terceira coordenada w_3. A dica sugere projetar primeiro \vec{v} sobre H^\perp.

Passo 2

A equação x+2y-3z+w=0 fornece um vetor normal a H. Tomamos
\vec{n}=(1,2,-3,1),
pois os coeficientes da equação formam um vetor ortogonal ao plano H. Então H^\perp=\operatorname{span}\{\vec{n}\}.

Passo 3

Qual é a ideia? Qualquer vetor \vec{v} em \mathbb{R}^4 se decompõe de forma única como soma de um componente em H e outro em H^\perp:
\vec{v} = P_H\vec{v} + P_{H^\perp}\vec{v}.
Como H e H^\perp são ortogonais, temos
P_H\vec{v} = \vec{v} - P_{H^\perp}\vec{v}.
Projeção em uma reta gerada por \vec{n} é fácil: para qualquer vetor \vec{u},
P_{\operatorname{span}\{\vec{n}\}}(\vec{u}) = \frac{\vec{u}\cdot\vec{n}}{\vec{n}\cdot\vec{n}}\,\vec{n}.
Aqui \vec{u}\cdot\vec{n} é o produto escalar, que se calcula somando produtos coordenada a coordenada.

Passo 4

Calculemos os produtos escalares necessários.
\vec{n}\cdot\vec{n}=1^2+2^2+(-3)^2+1^2=1+4+9+1=15.
\vec{v}\cdot\vec{n}=15\cdot1+3\cdot2+(-3)\cdot(-3)+0\cdot1=15+6+9+0=30.

Passo 5

A projeção de \vec{v} sobre H^\perp=\operatorname{span}\{\vec{n}\} é
P_{H^\perp}\vec{v}=\frac{\vec{v}\cdot\vec{n}}{\vec{n}\cdot\vec{n}}\,\vec{n}=\frac{30}{15}\,\vec{n}=2\vec{n}.
Portanto
P_{H^\perp}\vec{v}=2(1,2,-3,1)=(2,4,-6,2).

Passo 6

Agora obtemos a projeção em H subtraindo:
\vec{w}=P_H\vec{v}=\vec{v}-P_{H^\perp}\vec{v}=(15,3,-3,0)-(2,4,-6,2).
Fazendo a subtração coordenada a coordenada:
\vec{w}=(15-2,\;3-4,\;-3-(-6),\;0-2)=(13,-1,3,-2).

Passo 7

Uma checagem útil: \vec{w} deve satisfazer a equação de H, isto é \vec{w}\cdot\vec{n}=0. Calculando:
\vec{w}\cdot\vec{n}=13\cdot1+(-1)\cdot2+3\cdot(-3)+(-2)\cdot1=13-2-9-2=0,
logo está coerente — \vec{w}\in H.

Resposta

(C) 3

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