Q12: Sejam \vec{v}=(15,7,-4,4) e
H=\left\{(x, y, z, w) \in \mathbb{R}^{4} \mid x+2 y-3 z+w=0\right\} .
Calcule \vec{w}=P_{H} \vec{v}, a projeção ortogonal de \vec{v} sobre H.
O valor de w_{3}, a 3{ }^{\text {a }} entrada de \vec{w}, é:
Dica: Projete \vec{v} em H^{\perp}. Procure entender por que isto é mais fácil.
(A) 1
(B) 2
(C) 3
(D) 4
(E) 5
(F) 6
(G) 7

Passo 1

Vou deixar claro o que o enunciado dá e o que pede (sem resolver ainda).
  • O vetor dado é \vec{v} = (15,7,-4,4).
  • O subespaço H é
H=\{(x,y,z,w)\in\mathbb{R}^4 \mid x+2y-3z+w=0\}.
  • O pedido: calcular \vec{w}=P_{H}\vec{v}, a projeção ortogonal de \vec{v} sobre H, e em particular obter o valor da terceira coordenada w_{3}.

Passo 2

Conceito importante (explicação didática e por que projetar em H^\perp é mais fácil).
  • A projeção ortogonal \vec{w}=P_H\vec{v} é o vetor em H mais próximo de \vec{v}.
  • Todo vetor \vec{v} pode ser escrito de modo único como
\vec{v}=\vec{w}+\vec{u},
onde \vec{w}\in H e \vec{u}\in H^{\perp} (ortogonal a todo vetor de H). Então \vec{w}=\vec{v}-\vec{u}.
  • Se encontrarmos \vec{u}=\operatorname{proj}_{H^{\perp}}\vec{v}, basta subtrair de \vec{v} para obter \vec{w}. Isso é geralmente mais fácil porque H^{\perp} aqui é uma reta (espaço gerado por um vetor normal) — projetar numa reta tem fórmula simples.

Passo 3

Achar um vetor normal a H.
  • A equação x+2y-3z+w=0 fornece diretamente um vetor normal
\vec{n}=(1,2,-3,1).
  • Assim H^{\perp}=\operatorname{span}\{\vec{n}\}.

Passo 4

Fórmula da projeção de \vec{v} sobre a reta gerada por \vec{n}. (Derivação curta e intuição)
  • Como \vec{u}\in H^{\perp} é paralelo a \vec{n}, existe escalar \alpha tal que \vec{u}=\alpha\vec{n}.
  • Como \vec{w}=\vec{v}-\vec{u}\in H deve ser ortogonal a \vec{n}, vale (\vec{v}-\alpha\vec{n})\cdot\vec{n}=0.
  • Portanto
\alpha=\frac{\vec{v}\cdot\vec{n}}{\vec{n}\cdot\vec{n}}.
  • Consequentemente
\operatorname{proj}_{H^{\perp}}\vec{v}=\frac{\vec{v}\cdot\vec{n}}{\vec{n}\cdot\vec{n}}\,\vec{n}.
Esta é a fórmula padrão de projeção de um vetor sobre outra direção.

Passo 5

Calcular os produtos internos necessários ( \vec{v}\cdot\vec{n} e \vec{n}\cdot\vec{n}).
  • Calcular \vec{v}\cdot\vec{n}:
\vec{v}\cdot\vec{n}=15\cdot1 + 7\cdot2 + (-4)\cdot(-3) + 4\cdot1.
Agora somando termo a termo:
15\cdot1=15,\quad 7\cdot2=14,\quad (-4)\cdot(-3)=12,\quad 4\cdot1=4.
Logo
\vec{v}\cdot\vec{n}=15+14+12+4=45.
  • Calcular \vec{n}\cdot\vec{n}:
\vec{n}\cdot\vec{n}=1^2+2^2+(-3)^2+1^2=1+4+9+1=15.

Passo 6

Encontrar \operatorname{proj}_{H^{\perp}}\vec{v}.
  • Usando a fórmula:
\operatorname{proj}_{H^{\perp}}\vec{v}=\frac{45}{15}\,\vec{n}=3\,\vec{n}.
  • Como \vec{n}=(1,2,-3,1), temos
\operatorname{proj}_{H^{\perp}}\vec{v}=3(1,2,-3,1)=(3,6,-9,3).

Passo 7

Calcular \vec{w}=\vec{v}-\operatorname{proj}_{H^{\perp}}\vec{v}. (subtração componente a componente)
  • Subtraindo:
\vec{w}=(15,7,-4,4)-(3,6,-9,3).
  • Fazendo a subtração coordenada a coordenada:
\vec{w}=(15-3,\;7-6,\;-4-(-9),\;4-3).
  • Portanto
\vec{w}=(12,1,5,1).

Passo 8

Conferência rápida (checagem de consistência).
  • Verificar que \vec{w} está em H: calcular \vec{w}\cdot\vec{n}=12\cdot1+1\cdot2+5\cdot(-3)+1\cdot1.
12+2-15+1=0,
portanto \vec{w} satisfaz a equação de H. Bom sinal de que os cálculos estão corretos.

Resposta

(E) 5

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