Q12: Sejam
e
Calcule
, a projeção ortogonal de
sobre
.
O valor de
, a
entrada de
, é:
Dica: Projete
em
. Procure entender por que isto é mais fácil.
(A) 1
(B) 2
(C) 3
(D) 4
(E) 5
(F) 6
(G) 7
O valor de
Dica: Projete
(A) 1
(B) 2
(C) 3
(D) 4
(E) 5
(F) 6
(G) 7
Passo 1
Vou deixar claro o que o enunciado dá e o que pede (sem resolver ainda).
- O vetor dado é
. - O subespaço
é
- O pedido: calcular
, a projeção ortogonal de sobre , e em particular obter o valor da terceira coordenada .
Passo 2
Conceito importante (explicação didática e por que projetar em
é mais fácil).
- A projeção ortogonal
é o vetor em mais próximo de . - Todo vetor
pode ser escrito de modo único como
onde
e
(ortogonal a todo vetor de
). Então
.
- Se encontrarmos
, basta subtrair de para obter . Isso é geralmente mais fácil porque aqui é uma reta (espaço gerado por um vetor normal) — projetar numa reta tem fórmula simples.
Passo 3
Achar um vetor normal a
.
- A equação
fornece diretamente um vetor normal
- Assim
.
Passo 4
Fórmula da projeção de
sobre a reta gerada por
. (Derivação curta e intuição)
- Como
é paralelo a , existe escalar tal que . - Como
deve ser ortogonal a , vale . - Portanto
- Consequentemente
Esta é a fórmula padrão de projeção de um vetor sobre outra direção.
Passo 5
Calcular os produtos internos necessários (
e
).
- Calcular
:
Agora somando termo a termo:
Logo
- Calcular
:
Passo 6
Encontrar
.
- Usando a fórmula:
- Como
, temos
Passo 7
Calcular
. (subtração componente a componente)
- Subtraindo:
- Fazendo a subtração coordenada a coordenada:
- Portanto
Passo 8
Conferência rápida (checagem de consistência).
- Verificar que
está em : calcular .
portanto
satisfaz a equação de
. Bom sinal de que os cálculos estão corretos.
Resposta
(E)