Q13: Em um determinado fenômeno físico, uma grandeza Z depende de duas variáveis de controle x e y. O modelo matemático para esta dependência é Z=a x^{2}+b y+c, onde os parâmetros a, b e c dependem do arranjo experimental. Para se determinar estes parâmetros, foram realizadas 7 medições de Z para diferentes configurações de x e y e os resultados obtidos estão na tabela abaixo:
x y Z
-3 -1 40.9
-2 4 5.5
-1 -3 7.0
0 3 -9.8
1 5 -11.0
2 -4 24.2
3 3 34.8
Com base nos dados experimentais acima, ajuste os parâmetros a, b e c de forma a minimizar (no sentido dos mínimos quadrados) o desvio entre o modelo e os dados. Feito isto, calcule o valor de Z previsto pelo modelo ajustado para (x, y)=(9,7). Assinale a melhor aproximação para esse valor, dentre as opções abaixo.
Sugestão: Use algum software para resolver este problema. Pode ser uma planilha ou alguma linguagem de programação (como Python ou Octave, por exemplo). Vários destes ambientes estão disponíveis online.
(A) 378.1
(B) 379.1
(C) 380.1
(D) 381.1
(E) 382.1
(F) 383.1
(G) 384.1

Passo 1

O enunciado pede que se ajuste por mínimos quadrados os parâmetros a, b e c do modelo
Z = a x^{2} + b y + c
usando as 7 medições da tabela, e então que se calcule o valor previsto de Z para (x,y)=(9,7).\n
Os dados fornecidos (peguei-os da tabela do enunciado) são as 7 tripletas (x,y,Z):
\begin{array}{r|r|r} x & y & Z\\hline -3 & -1 & 40{,}9\\\\ -2 & 4 & 5{,}5\\\\ -1 & -3 & 7{,}0\\\\ 0 & 3 & -9{,}8\\\\ 1 & 5 & -11{,}0\\\\ 2 & -4 & 24{,}2\\\\ 3 & 3 & 34{,}8 \end{array}
Pergunta final: dentre as alternativas dadas, qual é a melhor aproximação do valor Z(9,7) previsto pelo modelo ajustado?

Passo 2

Estratégia (em palavras simples): o modelo é linear nos parâmetros a,b,c se tomarmos como variáveis explicativas u=x^{2}, v=y e a constante 1. Então podemos montar o sistema normal dos mínimos quadrados para estimar (a,b,c). Vou explicar isso passo a passo.
Teoria rápida e prática:
  • Se tivermos um modelo linear em parâmetros do tipo
Z = a u + b v + c\quad\text{(aqui \(u=x^2\), \(v=y\))},
e n medições (u_i,v_i,Z_i), montamos a matriz de desenho
A = \begin{pmatrix} u_1 & v_1 & 1\\\ u_2 & v_2 & 1\\\ \vdots & \vdots & \vdots\\\ u_n & v_n & 1 \end{pmatrix},
o vetor de parâmetros \theta = \begin{pmatrix}a\\\ b\\\ c\end{pmatrix} e o vetor de observações z=(Z_1,\dots,Z_n)^{T}. A estimativa por mínimos quadrados é a solução da equação normal
A^{T}A\,\theta = A^{T}z.
Isso minimiza a soma dos quadrados dos resíduos \sum_i (Z_i - (a u_i + b v_i + c))^{2}.

Passo 3

Vou transformar os dados originais em u=x^{2} e montar as somas necessárias (peguei estes u, v, Z da tabela).
Para cada ponto calculei u=x^{2}:
\begin{array}{r|r|r|r} x & u=x^{2} & y=v & Z\\hline -3 & 9 & -1 & 40{,}9\\\\ -2 & 4 & 4 & 5{,}5\\\\ -1 & 1 & -3 & 7{,}0\\\\ 0 & 0 & 3 & -9{,}8\\\\ 1 & 1 & 5 & -11{,}0\\\\ 2 & 4 & -4 & 24{,}2\\\\ 3 & 9 & 3 & 34{,}8 \end{array}
Agora calculo as somas necessárias para A^{T}A e A^{T}z. Vou listar os resultados (cada soma foi obtida somando os valores da tabela acima):
  • n = 7.
  • \displaystyle \sum u = 9+4+1+0+1+4+9 = 28.
  • \displaystyle \sum v = (-1)+4+(-3)+3+5+(-4)+3 = 7.
  • \displaystyle \sum u^{2} = \sum x^{4} = 81+16+1+0+1+16+81 = 196.
  • \displaystyle \sum v^{2} = 1+16+9+9+25+16+9 = 85.
  • \displaystyle \sum u v = 9(-1)+4\cdot4+1(-3)+0\cdot3+1\cdot5+4(-4)+9\cdot3 = 20.
  • \displaystyle \sum Z = 40{,}9+5{,}5+7{,}0-9{,}8-11{,}0+24{,}2+34{,}8 = 91{,}6.
  • \displaystyle \sum uZ = 9\cdot40{,}9 +4\cdot5{,}5 +1\cdot7{,}0 +0\cdot(-9{,}8) +1\cdot(-11{,}0) +4\cdot24{,}2 +9\cdot34{,}8 = 796{,}1.
  • \displaystyle \sum vZ = (-1)\cdot40{,}9 +4\cdot5{,}5 +(-3)\cdot7{,}0 +3\cdot(-9{,}8) +5\cdot(-11{,}0) +(-4)\cdot24{,}2 +3\cdot34{,}8 = -116{,}7.
Confirme: todas essas somas vieram diretamente das colunas u, v, Z (ou dos produtos correspondentes) da tabela original.

Passo 4

Montagem da equação normal. Com as somas obtidas, a matriz A^{T}A e o vetor A^{T}z valem
A^{T}A = \begin{pmatrix} \sum u^{2} & \sum uv & \sum u\\\ \sum uv & \sum v^{2} & \sum v\\\ \sum u & \sum v & n \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 196 & 20 & 28\\[4pt] 20 & 85 & 7\\[4pt] 28 & 7 & 7 \end{pmatrix},
A^{T}z = \begin{pmatrix} \sum uZ\\[4pt] \sum vZ\\[4pt] \sum Z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 796{,}1\\[4pt] -116{,}7\\[4pt] 91{,}6 \end{pmatrix}.
Logo, temos o sistema linear (equação normal)
\begin{pmatrix} 196 & 20 & 28\\\\ 20 & 85 & 7\\\\ 28 & 7 & 7 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}a\\\ b\\\ c\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}796{,}1\\\\ -116{,}7\\\\ 91{,}6\end{pmatrix}.
Agora resolvo esse sistema para encontrar a,b,c. Vou fazer eliminação gaussiana de forma transparente (mostrando os passos essenciais).]

Passo 5

Eliminação Gaussiana (resumo dos cálculos principais, com algumas simplificações em frações quando conveniente):
  1. Subtrai-se \tfrac{20}{196}=\tfrac{5}{49} vezes a primeira linha da segunda, e \tfrac{28}{196}=\tfrac{1}{7} vezes a primeira linha da terceira. Isso gera o sistema equivalente
\begin{pmatrix} 196 & 20 & 28 &|& 796{,}1\\[4pt] 0 & \dfrac{4065}{49} & \dfrac{29}{7} &|& -\dfrac{48494}{245}\\[6pt] 0 & \dfrac{29}{7} & 3 &|& -\dfrac{1549}{70} \end{pmatrix}.
  1. Em seguida elimina-se a entrada \dfrac{29}{7} da terceira linha usando a segunda: o fator de eliminação é
m = \frac{\tfrac{29}{7}}{\tfrac{4065}{49}} = \frac{203}{4065}.
Depois da eliminação obtém-se (valores exatos transformados e simplificados)
a terceira equação reduzida com coeficiente da coluna c
\frac{11354}{4065}\,c \;=\; -\frac{24388231}{1991850}.
  1. Assim resolve-se para c:
c = -\frac{24388231}{1991850}\cdot\frac{4065}{11354}.
Simplificando 4065 com 1991850=4065\cdot490 cancela-se o 4065 e fica
c = -\frac{24388231}{490\cdot11354} = -\frac{24388231}{5563460}.
Convertendo para decimal (para uso prático):
c \approx -4{,}383643902.]

Passo 6

Volto à segunda equação reduzida para encontrar b. A segunda equação era
\frac{4065}{49}\,b + \frac{29}{7}\,c = -\frac{48494}{245}.
Isolando b e substituindo o valor numérico de c obtém-se (numérico)
b \approx -2{,}16701607.
Explanação curta sobre o porquê: a segunda linha após eliminação envolve apenas b e c; substituindo c e dividindo pelo coeficiente de b obtém-se b. Usei as frações exatas internamente e depois passei para decimal com precisão suficiente para a previsão final.

Passo 7

Finalmente calculo a pela primeira equação original:
196\,a + 20\,b + 28\,c = 796{,}1.
Substituindo b e c obtém-se
a \approx \frac{796{,}1 - 20 b - 28 c}{196} \approx 4{,}90909363.
Resumo dos parâmetros ajustados (valores numéricos arredondados com precisão apropriada):
a \approx 4{,}90909363,\qquad b \approx -2{,}16701607,\qquad c \approx -4{,}38364390.

Passo 8

Agora calculo a previsão do modelo para (x,y)=(9,7). Lembrete: no modelo original usa-se x^{2}, então u = x^{2} = 9^{2} = 81. Assim
Z(9,7) = a\cdot 81 + b\cdot 7 + c.
Substituindo os valores:
Z(9,7) \approx 4{,}90909363\cdot81 + (-2{,}16701607)\cdot7 + (-4{,}38364390).
Cálculo numérico:
4{,}90909363\cdot81 \approx 397{,}63658403,
(-2{,}16701607)\cdot7 \approx -15{,}16911249,
c \approx -4{,}38364390.
Somando:
Z(9,7) \approx 397{,}63658403 -15{,}16911249 -4{,}38364390 \approx 378{,}08382764.
Arredondando para uma casa decimal (como nas opções), obtemos \,378{,}1.

Resposta

(A) 378.1

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