Q11: Considere o subespaço H \subset \mathbb{R}^{4} definido por:
H=\operatorname{span}\{(0,2,-1,0),(0,0,1,-2),(0,-4,6,-8)\}. Qual dos conjuntos abaixo é base de H^{\perp} (complemento ortogonal de H )?
(A) \{(3,3,-3,-3)\}
(B) \{(3,3,3,3)\}
(C) \{(4,-1,-2,-1),(-3,3,6,3)\}
(D) \{(4,-1,-2,-1)\}
(E) \{(3,3,-3,-3),(3,3,3,3)\}
(F) \{(-3,3,6,3)\}
(G) \{(4,-1,-2,-1),(3,3,3,3)\}

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede.
  • O enunciado fornece o subespaço H\subset\mathbb{R}^4 gerado por três vetores: v_1=(0,2,-1,0),\qquad v_2=(0,0,1,-2),\qquad v_3=(0,-4,6,-8).
  • O que é pedido: encontrar qual dos conjuntos listados é uma base de H^{\perp}, o complemento ortogonal de H. Ou seja, precisamos de um conjunto de vetores que
    1. esteja contido em H^{\perp}=\{x\in\mathbb{R}^4\mid x\cdot w=0\\ \forall w\in H\}, e
    2. forme uma base (isto é, seja linearmente independente e gere todo H^{\perp}).

Passo 2

Detectar dependências entre os geradores de H.
  • Vamos verificar se os três vetores são linearmente independentes ou se há relação entre eles. Procuramos a,b tais que a v_1 + b v_2 = v_3.
  • Escrevendo coordenada a coordenada: a\,(0,2,-1,0)+b\,(0,0,1,-2)=(0,2a,-a+b,-2b).Queremos isso igual a (0,-4,6,-8). Igualando coordenadas: 2a=-4,\qquad -a+b=6,\qquad -2b=-8.
  • Da primeira equação a=-2. Da terceira b=4. Verificando a segunda: -(-2)+4=2+4=6, confere. Logo v_3 = -2\,v_1 + 4\,v_2.
  • Conclusão: v_1 e v_2 geram H; v_3 é combinação linear dos outros dois. Assim \dim H = 2.

Passo 3

Usar a relação dimensão para saber a dimensão de H^{\perp}.
  • Em \mathbb{R}^4 vale \dim H + \dim H^{\perp}=4. Como \dim H=2, segue que \dim H^{\perp}=4-2=2.
  • Portanto qualquer base de H^{\perp} deve conter exatamente 2 vetores linearmente independentes.

Passo 4

Escrever as equações que definem H^{\perp}.
  • Um vetor x=(x_1,x_2,x_3,x_4) pertence a H^{\perp} se e somente se é ortogonal a v_1 e a v_2 (basta estas duas, pois v_3 é combinação delas). Isto dá o sistema: x\cdot v_1 = 0,\qquad x\cdot v_2 = 0.
  • Calculando os produtos: x\cdot v_1 = 0\cdot x_1 + 2x_2 - x_3 + 0\cdot x_4 = 2x_2 - x_3 = 0,
x\cdot v_2 = 0\cdot x_1 + 0\cdot x_2 + x_3 - 2x_4 = x_3 - 2x_4 = 0.

Passo 5

Resolver o sistema e descrever H^{\perp}.
  • Da segunda equação temos \,x_3 = 2x_4\,.
  • Substituindo na primeira: 2x_2 - (2x_4)=0\Rightarrow x_2 = x_4.
  • x_1 não aparece em nenhuma equação, é variável livre. Também x_4 é livre. Assim a solução geral é x=(x_1,x_2,x_3,x_4)=(x_1,x_4,2x_4,x_4)=x_1\,(1,0,0,0)+x_4\,(0,1,2,1).
  • Portanto uma base conveniente de H^{\perp} é \{(1,0,0,0),\\ (0,1,2,1)\},confirmando \dim H^{\perp}=2.

Passo 6

Testar as alternativas dadas usando o que sabemos.
  • Primeiro: qualquer alternativa com apenas um vetor (A), (B), (D), (F) não pode ser base porque \dim H^{\perp}=2. Eliminadas.
  • Resta testar as alternativas com dois vetores: (C), (E), (G).
Verificação de pertencimento a H^{\perp}: usar as equações 2x_2-x_3=0 e x_3-2x_4=0.
  • Alternativa (C): vetores
    w_1=(4,-1,-2,-1),\qquad w_2=(-3,3,6,3).
    Para w_1: 2x_2-x_3=2(-1)-(-2)= -2+2=0 e x_3-2x_4=-2-2(-1)=-2+2=0. Logo w_1\in H^{\perp}.
    Para w_2: 2\cdot 3 - 6=6-6=0 e 6-2\cdot 3=6-6=0. Logo w_2\in H^{\perp}.
    São ambos em H^{\perp}. São linearmente independentes? Observando as coordenadas, w_2 não é múltiplo escalar de w_1 (por exemplo, primeira coordenada 4 vs -3 exigiria fator -3/4, que não transforma as demais coordenadas corretamente). Logo são independentes e, por terem 2 vetores em um espaço de dimensão 2, formam uma base de H^{\perp}.
  • Alternativa (E): vetores
    (3,3,-3,-3),\\ (3,3,3,3).
    Para o primeiro: 2\cdot 3 - (-3)=6+3=9\neq 0. Portanto já não está em H^{\perp}. (E) está eliminada.
  • Alternativa (G): vetores
    (4,-1,-2,-1),\\ (3,3,3,3).
    O segundo vetor: 2\cdot 3 - 3=6-3=3\neq 0, logo não pertence a H^{\perp}. (G) eliminada.

Resposta

(C)

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