Q11: Considere o subespaço
definido por:
. Qual dos conjuntos abaixo é base de
(complemento ortogonal de
)?
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
(F)
(G)
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
(F)
(G)
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede.
- O enunciado fornece o subespaço
gerado por três vetores: - O que é pedido: encontrar qual dos conjuntos listados é uma base de
, o complemento ortogonal de . Ou seja, precisamos de um conjunto de vetores que - esteja contido em
, e - forme uma base (isto é, seja linearmente independente e gere todo
).
- esteja contido em
Passo 2
Detectar dependências entre os geradores de
.
- Vamos verificar se os três vetores são linearmente independentes ou se há relação entre eles. Procuramos
tais que - Escrevendo coordenada a coordenada:
Queremos isso igual a . Igualando coordenadas: - Da primeira equação
. Da terceira . Verificando a segunda: , confere. Logo - Conclusão:
e geram ; é combinação linear dos outros dois. Assim .
Passo 3
Usar a relação dimensão para saber a dimensão de
.
- Em
vale . Como , segue que - Portanto qualquer base de
deve conter exatamente 2 vetores linearmente independentes.
Passo 4
Escrever as equações que definem
.
- Um vetor
pertence a se e somente se é ortogonal a e a (basta estas duas, pois é combinação delas). Isto dá o sistema: - Calculando os produtos:
Passo 5
Resolver o sistema e descrever
.
- Da segunda equação temos
. - Substituindo na primeira:
. -
não aparece em nenhuma equação, é variável livre. Também é livre. Assim a solução geral é - Portanto uma base conveniente de
é confirmando .
Passo 6
Testar as alternativas dadas usando o que sabemos.
- Primeiro: qualquer alternativa com apenas um vetor (A), (B), (D), (F) não pode ser base porque
. Eliminadas. - Resta testar as alternativas com dois vetores: (C), (E), (G).
Verificação de pertencimento a
: usar as equações
e
.
-
Alternativa (C): vetoresPara
: e . Logo .
Para: e . Logo .
São ambos em. São linearmente independentes? Observando as coordenadas, não é múltiplo escalar de (por exemplo, primeira coordenada vs exigiria fator , que não transforma as demais coordenadas corretamente). Logo são independentes e, por terem 2 vetores em um espaço de dimensão 2, formam uma base de . -
Alternativa (E): vetoresPara o primeiro:
. Portanto já não está em . (E) está eliminada. -
Alternativa (G): vetoresO segundo vetor:
, logo não pertence a . (G) eliminada.
Resposta
(C)