Q12: Sejam \vec{v}=(30,1,2,4) e
H=\left\{(x, y, z, w) \in \mathbb{R}^{4} \mid x+2 y-3 z+w=0\right\} .
Calcule \vec{w}=P_{H} \vec{v}, a projeção ortogonal de \vec{v} sobre H.
O valor de w_{3}, a 3^{\text {a }} entrada de \vec{w}, é:
Dica: Projete \vec{v} em H^{\perp}. Procure entender por que isto é mais fácil.
(A) 1
(B) 2
(C) 3
(D) 4
(E) 5
(F) 6
(G) 7
(H) 8

Passo 1

O enunciado dá:
  • \vec{v}=(30,1,2,4).
  • H=\{(x,y,z,w)\in\mathbb{R}^4 \mid x+2y-3z+w=0\}.
Pede-se calcular \vec{w}=P_H\vec{v}, a projeção ortogonal de \vec{v} sobre H, e então informar w_{3}, a terceira coordenada de \vec{w}.
Dica do enunciado: projetar \vec{v} em H^\perp é mais fácil. Vou usar isso: obter a componente de \vec{v} ao longo de H^\perp e subtrair de \vec{v} para obter \vec{w}.

Passo 2

Identificar um vetor normal \vec{n} ao plano H. A equação x+2y-3z+w=0 tem vetor normal
\vec{n}=(1,2,-3,1).
Isto significa que H^{\perp}=\operatorname{span}(\vec{n}): todo vetor em H^\perp é um múltiplo escalar de \vec{n}.

Passo 3

Explicar a decomposição e a fórmula da projeção. Qualquer vetor \vec{v} em \mathbb{R}^4 pode ser escrito de forma única como
\vec{v}=\vec{w}+\vec{u},
onde \vec{w}\in H e \vec{u}\in H^\perp. Assim
\vec{w}=\vec{v}-\vec{u}.
Como \vec{u} é paralelo a \vec{n}, escrevemos \vec{u}=t\vec{n} para algum escalar t. Para encontrar t usamos o produto escalar: a projeção de \vec{v} sobre a direção \vec{n} é
\vec{u}=\operatorname{proj}_{\vec{n}} \vec{v}=\frac{\vec{v}\cdot\vec{n}}{\vec{n}\cdot\vec{n}}\,\vec{n}.
Aqui \vec{v}\cdot\vec{n} é o produto escalar (somatório das coordenadas multiplicadas) e \vec{n}\cdot\vec{n} é o quadrado da norma de \vec{n}.

Passo 4

Calcular \vec{v}\cdot\vec{n} e \vec{n}\cdot\vec{n}.
Produto escalar:
\vec{v}\cdot\vec{n}=30\cdot1 + 1\cdot2 + 2\cdot(-3) + 4\cdot1.
Fazendo as contas passo a passo:
30\cdot1=30,\quad 1\cdot2=2,\quad 2\cdot(-3)=-6,\quad 4\cdot1=4.
Somando:
\vec{v}\cdot\vec{n}=30+2-6+4=30.
Agora \vec{n}\cdot\vec{n}:
\vec{n}\cdot\vec{n}=1^2+2^2+(-3)^2+1^2=1+4+9+1=15.
Portanto o escalar é
\frac{\vec{v}\cdot\vec{n}}{\vec{n}\cdot\vec{n}}=\frac{30}{15}=2.

Passo 5

Obter \vec{u}=\operatorname{proj}_{\vec{n}}\vec{v} e então \vec{w}.
Como o escalar é 2, temos
\vec{u}=2\vec{n}=2(1,2,-3,1)=(2,4,-6,2).
Logo
\vec{w}=\vec{v}-\vec{u}=(30,1,2,4)-(2,4,-6,2).
Subtraindo coordenada a coordenada:
\vec{w}=(30-2,\;1-4,\;2-(-6),\;4-2)=(28,-3,8,2).

Passo 6

Verificação rápida (check): \vec{w} deve pertencer a H. Calcular x+2y-3z+w para \vec{w}:
28 + 2(-3) -3(8) + 2 = 28 -6 -24 +2 =0,
portanto \vec{w}\in H (confirmação).
Também \vec{u}=\vec{v}-\vec{w}=(2,4,-6,2) é paralelo a \vec{n}, logo está em H^\perp. Tudo consistente.

Resposta

8 (H)

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