Q12: Sejam
e
Calcule
, a projeção ortogonal de
sobre
.
O valor de
, a
entrada de
, é:
Dica: Projete
em
. Procure entender por que isto é mais fácil.
(A) 1
(B) 2
(C) 3
(D) 4
(E) 5
(F) 6
(G) 7
(H) 8
O valor de
Dica: Projete
(A) 1
(B) 2
(C) 3
(D) 4
(E) 5
(F) 6
(G) 7
(H) 8
Passo 1
O enunciado dá:
-
. -
.
Pede-se calcular
, a projeção ortogonal de
sobre
, e então informar
, a terceira coordenada de
.
Dica do enunciado: projetar
em
é mais fácil. Vou usar isso: obter a componente de
ao longo de
e subtrair de
para obter
.
Passo 2
Identificar um vetor normal
ao plano
. A equação
tem vetor normal
Isto significa que
: todo vetor em
é um múltiplo escalar de
.
Passo 3
Explicar a decomposição e a fórmula da projeção. Qualquer vetor
em
pode ser escrito de forma única como
onde
e
. Assim
Como
é paralelo a
, escrevemos
para algum escalar
. Para encontrar
usamos o produto escalar: a projeção de
sobre a direção
é
Aqui
é o produto escalar (somatório das coordenadas multiplicadas) e
é o quadrado da norma de
.
Passo 4
Calcular
e
.
Produto escalar:
Fazendo as contas passo a passo:
Somando:
Agora
:
Portanto o escalar é
Passo 5
Obter
e então
.
Como o escalar é
, temos
Logo
Subtraindo coordenada a coordenada:
Passo 6
Verificação rápida (check):
deve pertencer a
. Calcular
para
:
portanto
(confirmação).
Também
é paralelo a
, logo está em
. Tudo consistente.