Q10: Seja
o ângulo entre os vetores
e
em
. Assinale a alternativa correta:
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
(F)
(G)
(H)
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
(F)
(G)
(H)
Passo 1
O enunciado dá dois vetores em
:
Pede-se o ângulo
entre eles e em qual das alternativas (intervalos para
) ele se encaixa. Em resumo: calcular
a partir de
e
e escolher a alternativa correta.
Passo 2
Fórmula que vamos usar (essa é a peça-chave): o produto escalar e a norma em
e a relação com o cosseno do ângulo.
- Produto escalar: para
e ,
- Norma (comprimento) de
:
- Relação com o ângulo
entre e :
Aqui
fica em
. Depois de obter
usamos
.
Passo 3
Calcular o produto escalar
através da soma dos produtos coordenada a coordenada:
Agora cada termo:
Somando:
Passo 4
Calcular as normas
e
.
Para
:
portanto
Para
:
portanto
Passo 5
Aplicar a fórmula do cosseno:
Multiplicando
e observando
, obtém-se uma forma levemente simplificada:
Passo 6
Fazer uma aproximação numérica para entender o ângulo (na prova normalmente é suficiente identificar o intervalo pelo valor aproximado):
Calcular aproximadamente
. Sabendo que
e
, então
. Assim
Logo
Agora
. Em graus isso é aproximadamente
(porque
), e em radianos
Passo 7
Interpretação do resultado em relação às alternativas:
-
, -
.
Como
, temos
ou seja, a alternativa correta é a (D).
Resposta
(D)