Q10: Seja \theta o ângulo entre os vetores (2,-4,-1,5) e (0,-5,-3,-2) em \mathbb{R}^{4}. Assinale a alternativa correta:
(A) 0 \leqslant \theta \leqslant \pi / 6
(B) \pi / 6<\theta \leqslant \pi / 4
(C) \pi / 4<\theta \leqslant \pi / 3
(D) \pi / 3<\theta \leqslant \pi / 2
(E) \pi / 2<\theta \leqslant 2 \pi / 3
(F) 2 \pi / 3<\theta \leqslant 3 \pi / 4
(G) 3 \pi / 4<\theta \leqslant 5 \pi / 6
(H) 5 \pi / 6<\theta \leqslant \pi

Passo 1

O enunciado dá dois vetores em \mathbb{R}^4:
u=(2,-4,-1,5),\qquad v=(0,-5,-3,-2).
Pede-se o ângulo \theta entre eles e em qual das alternativas (intervalos para \theta) ele se encaixa. Em resumo: calcular \theta a partir de u e v e escolher a alternativa correta.

Passo 2

Fórmula que vamos usar (essa é a peça-chave): o produto escalar e a norma em \mathbb{R}^n e a relação com o cosseno do ângulo.
  • Produto escalar: para u=(u_1,\dots,u_n) e v=(v_1,\dots,v_n),
u\cdot v = \sum_{i=1}^{n} u_i v_i.
  • Norma (comprimento) de u:
\|u\| = \sqrt{u\cdot u} = \sqrt{\sum_{i=1}^n u_i^2}.
  • Relação com o ângulo \theta entre u e v:
\cos\theta = \frac{u\cdot v}{\|u\|\,\|v\|}.
Aqui \theta fica em [0,\pi]. Depois de obter \cos\theta usamos \theta=\operatorname{arccos}(\cdot).

Passo 3

Calcular o produto escalar u\cdot v através da soma dos produtos coordenada a coordenada:
u\cdot v = 2\cdot 0 + (-4)\cdot(-5) + (-1)\cdot(-3) + 5\cdot(-2).
Agora cada termo:
2\cdot 0 = 0,\quad (-4)(-5)=20,\quad (-1)(-3)=3,\quad 5(-2)=-10.
Somando:
u\cdot v = 0 + 20 + 3 - 10 = 13.

Passo 4

Calcular as normas \|u\| e \|v\|.
Para \|u\|^2:
\|u\|^2 = 2^2 + (-4)^2 + (-1)^2 + 5^2 = 4 + 16 + 1 + 25 = 46,
portanto
\|u\| = \sqrt{46}.
Para \|v\|^2:
\|v\|^2 = 0^2 + (-5)^2 + (-3)^2 + (-2)^2 = 0 + 25 + 9 + 4 = 38,
portanto
\|v\| = \sqrt{38}.

Passo 5

Aplicar a fórmula do cosseno:
\cos\theta = \frac{u\cdot v}{\|u\|\,\|v\|} = \frac{13}{\sqrt{46}\,\sqrt{38}} = \frac{13}{\sqrt{46\cdot 38}}.
Multiplicando 46\cdot38 = 1748 e observando 1748 = 4\cdot 437, obtém-se uma forma levemente simplificada:
\cos\theta = \frac{13}{2\sqrt{437}}.

Passo 6

Fazer uma aproximação numérica para entender o ângulo (na prova normalmente é suficiente identificar o intervalo pelo valor aproximado):
Calcular aproximadamente \sqrt{437}. Sabendo que 20^2=400 e 21^2=441, então \sqrt{437}\approx 20,9045. Assim
2\sqrt{437}\approx 41,8091.
Logo
\cos\theta \approx \frac{13}{41,8091}\approx 0,3109.
Agora \theta=\operatorname{arccos}(0,3109). Em graus isso é aproximadamente 72^\circ (porque \cos 72^\circ\approx 0,309), e em radianos
\theta \approx 1,26\\ \text{rad}.

Passo 7

Interpretação do resultado em relação às alternativas:
  • \pi/3 = 60^\circ,
  • \pi/2 = 90^\circ.
Como \theta\approx 72^\circ, temos
\frac{\pi}{3} < \theta \le \frac{\pi}{2},
ou seja, a alternativa correta é a (D).

Resposta

(D)

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