Q13: Em um determinado fenômeno físico, uma grandeza Z depende de duas variáveis de controle x e y. O modelo matemático para esta dependência é Z=a x^{2}+b y+c, onde os parâmetros a, b e c dependem do arranjo experimental. Para se determinar estes parâmetros, foram realizadas 7 medições de Z para diferentes configurações de x e y e os resultados obtidos estão na tabela abaixo:
x y Z
-3 4 -22.7
-2 -2 -17.2
-1 1 1.1
0 -1 3.3
1 -4 -6.5
2 -4 -20.8
3 -2 -37.1
Com base nos dados experimentais acima, ajuste os parâmetros a, b e c de forma a minimizar (no sentido dos mínimos quadrados) o desvio entre o modelo e os dados. Feito isto, calcule o valor de Z previsto pelo modelo ajustado para (x, y)=(7,7). Assinale a melhor aproximação para esse valor, dentre as opções abaixo.
Sugestão: Use algum software para resolver este problema. Pode ser uma planilha ou alguma linguagem de programação (como Python ou Octave, por exemplo). Vários destes ambientes estão disponíveis online.
(A) -185.8
(B) -184.8
(C) -183.8
(D) -182.8
(E) -181.8
(F) -180.8
(G) -179.8
(H) -178.8

Passo 1

O enunciado pede: ajustar os parâmetros a,b,c do modelo \,Z=a x^{2}+b y+c, por mínimos quadrados usando os 7 dados da tabela, e com o modelo ajustado prever o valor de Z em (x,y)=(7,7). Peguei os dados da tabela fornecida:
\begin{array}{r|r|r} x & y & Z\\hline -3 & 4 & -22{,}7\\\\ -2 & -2 & -17{,}2\\\\ -1 & 1 & 1{,}1\\\\ 0 & -1 & 3{,}3\\\\ 1 & -4 & -6{,}5\\\\ 2 & -4 & -20{,}8\\\\ 3 & -2 & -37{,}1 \end{array}
Resumo das perguntas:
  • Encontrar a,b,c que minimizam a soma dos quadrados dos resíduos entre Z e a x^2 + b y + c.
  • Calcular o Z previsto para (x,y)=(7,7) e escolher a melhor aproximação entre as alternativas.

Passo 2

Vamos transformar o problema num sistema linear para mínimos quadrados. Chamando \theta=(a,b,c)^{T} e definindo as funções base \phi_{1}(x,y)=x^{2}, \phi_{2}(x,y)=y, \phi_{3}(x,y)=1, as medidas produzem a equação matricial
A\,\theta \approx z,
onde a matriz A tem linhas \bigl[\phi_{1},\phi_{2},\phi_{3}\bigr] e z é o vetor das observações de Z. A solução de mínimos quadrados é dada pelas equações normais
A^{T}A\,\theta = A^{T}z.
Isto é só a forma matricial da condição de minimizar a soma dos quadrados dos resíduos; nada de mágico — vamos montar A^{T}A e A^{T}z explicitamente usando os dados.

Passo 3

Calculo das quantidades relevantes a partir da tabela (peguei cada número da tabela):
Para cada ponto calculei x^{2} e usei y e Z. Os valores usados:
\begin{aligned} &x^{2}:\;9,\,4,\,1,\,0,\,1,\,4,\,9,\\\ &y:\;4,\,-2,\,1,\,-1,\,-4,\,-4,\,-2,\\\ &Z:\;-22{,}7,\,-17{,}2,\,1{,}1,\,3{,}3,\,-6{,}5,\,-20{,}8,\,-37{,}1. \end{aligned}
Calculei as somas necessárias (mostro cada soma):
\begin{aligned} &\sum x^{2}=28,\\\ &\sum y=-8,\\\ &\sum 1 = 7,\\\ &\sum (x^{2})^{2}=\sum x^{4}=196,\\\ &\sum x^{2}\,y = -9,\\\ &\sum y^{2}=58,\\\ &\sum x^{2}Z = -695{,}6,\\\ &\sum yZ = 124{,}8,\\\ &\sum Z = -99{,}9. \end{aligned}
(Para evitar muitos decimais intermédios, é conveniente multiplicar as observações Z por 10 e trabalhar com inteiros; vou explicar isso no próximo passo e depois voltar aos parâmetros originais.)

Passo 4

Escrevendo explicitamente as equações normais: com ordem das colunas [\;x^{2},\;y,\;1\;],
A^{T}A= \begin{pmatrix} \sum x^{4} & \sum x^{2}y & \sum x^{2}\\[4pt] \sum x^{2}y & \sum y^{2} & \sum y\\[4pt] \sum x^{2} & \sum y & \sum 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 196 & -9 & 28\\[4pt] -9 & 58 & -8\\[4pt] 28 & -8 & 7 \end{pmatrix},
e
A^{T}z= \begin{pmatrix} \sum x^{2}Z\\[4pt] \sum yZ\\[4pt] \sum Z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -695{,}6\\[4pt] 124{,}8\\[4pt] -99{,}9 \end{pmatrix}.
Para evitar trabalhar com décimos repetidos, defino z'=10z. Então as equações normais para \theta' = 10\theta (porque A^{T}A não muda, enquanto A^{T}z' =10 A^{T}z) ficam com RHS inteiro:
\begin{pmatrix} 196 & -9 & 28\\\\ -9 & 58 & -8\\\\ 28 & -8 & 7 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a'\\\ b'\\\ c' \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} -6956\\\\ 1248\\\\ -999 \end{pmatrix},
onde a'=10a,\\ b'=10b,\\ c'=10c. No final dividimos por 10 para obter a,b,c.]

Passo 5

Vou resolver o sistema inteiro acima com eliminação inteira (evita erros de arredondamento). As equações são:
\begin{aligned} &(1)\quad 196a' -9b' +28c' = -6956,\\\ &(2)\quad -9a' +58b' -8c' = 1248,\\\ &(3)\quad 28a' -8b' +7c' = -999. \end{aligned}
Eliminação de a':
  • Combine 196\times(2) com 9\times(1) para zerar a':
    isso dá 11287\,b' -1316\,c' = 182004. \tag{4}
  • Combine 1 - 7\times(3) para zerar a' também:
    isso dá 47\,b' -21\,c' = 37. \tag{5}
Agora temos um sistema de duas equações (4) e (5) em b',c'.

Passo 6

Resolvo (4) e (5). Da (5),
b'=\dfrac{37+21\,c'}{47}.
Substituindo em (4) e multiplicando por 47 para limpar denominadores obtém-se (após simplificar):
175175\,c' = 8136569,
portanto
c'=\dfrac{8136569}{175175}=\dfrac{1162367}{25025}\approx 46{,}4485779.

Passo 7

Agora calculo b' usando (5):
b'=\dfrac{37+21\,c'}{47}=\dfrac{25335632}{1176175}\approx 21{,}540706\\ (\text{aprox.}).

Passo 8

Volto a (1) para obter a':
196a' = -6956 +9b' -28c',
substituindo os valores numéricos:
196a' \approx -6956 +9(21{,}540706) -28(46{,}4485779) \approx -8062{,}694,
logo
a' \approx -41{,}13364.

Passo 9

Converto de volta para os parâmetros originais dividindo por 10:
a \approx \dfrac{a'}{10}\approx -4{,}113364,\qquad b \approx \dfrac{b'}{10}\approx 2{,}1540706,\qquad c \approx \dfrac{c'}{10}\approx 4{,}64485779.
Agora calculo a previsão para (x,y)=(7,7). Como x^{2}=49,
Z_{\text{pred}} = a\cdot 49 + b\cdot 7 + c.
Substituindo:
Z_{\text{pred}}\approx (-4{,}113364)\cdot 49 + (2{,}1540706)\cdot 7 + 4{,}64485779 \approx -201{,}5579 + 15{,}0785 + 4{,}6449 \approx -181{,}8345.
A aproximação entre as alternativas é -181{,}8.

Passo 10

Comparando com as alternativas disponíveis, a mais próxima é a letra (E) com valor -181{,}8. Força aí — deu trabalho, mas agora dá pra ver o passo a passo e aplicar a mesma técnica na prova.

Resposta

(E) -181.8

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