Q13: Em um determinado fenômeno físico, uma grandeza Z depende de duas variáveis de controle x e y. O modelo matemático para esta dependência é Z=a x^{2}+b y+c, onde os parâmetros a, b e c dependem do arranjo experimental. Para se determinar estes parâmetros, foram realizadas 7 medições de Z para diferentes configurações de x e y e os resultados obtidos estão na tabela abaixo:
x
y
Z
-3
4
-22.7
-2
-2
-17.2
-1
1
1.1
0
-1
3.3
1
-4
-6.5
2
-4
-20.8
3
-2
-37.1
Com base nos dados experimentais acima, ajuste os parâmetros a, b e c de forma a minimizar (no sentido dos mínimos quadrados) o desvio entre o modelo e os dados. Feito isto, calcule o valor de Z previsto pelo modelo ajustado para (x, y)=(7,7). Assinale a melhor aproximação para esse valor, dentre as opções abaixo.
Sugestão: Use algum software para resolver este problema. Pode ser uma planilha ou alguma linguagem de programação (como Python ou Octave, por exemplo). Vários destes ambientes estão disponíveis online.
(A) -185.8
(B) -184.8
(C) -183.8
(D) -182.8
(E) -181.8
(F) -180.8
(G) -179.8
(H) -178.8
Passo 1
O enunciado pede: ajustar os parâmetros a,b,c do modelo \,Z=a x^{2}+b y+c, por mínimos quadrados usando os 7 dados da tabela, e com o modelo ajustado prever o valor de Z em (x,y)=(7,7). Peguei os dados da tabela fornecida:
Encontrar a,b,c que minimizam a soma dos quadrados dos resíduos entre Z e a x^2 + b y + c.
Calcular o Z previsto para (x,y)=(7,7) e escolher a melhor aproximação entre as alternativas.
Passo 2
Vamos transformar o problema num sistema linear para mínimos quadrados. Chamando \theta=(a,b,c)^{T} e definindo as funções base \phi_{1}(x,y)=x^{2}, \phi_{2}(x,y)=y, \phi_{3}(x,y)=1, as medidas produzem a equação matricial
A\,\theta \approx z,
onde a matriz A tem linhas \bigl[\phi_{1},\phi_{2},\phi_{3}\bigr] e z é o vetor das observações de Z. A solução de mínimos quadrados é dada pelas equações normais
A^{T}A\,\theta = A^{T}z.
Isto é só a forma matricial da condição de minimizar a soma dos quadrados dos resíduos; nada de mágico — vamos montar A^{T}A e A^{T}z explicitamente usando os dados.
Passo 3
Calculo das quantidades relevantes a partir da tabela (peguei cada número da tabela):
Para cada ponto calculei x^{2} e usei y e Z. Os valores usados:
(Para evitar muitos decimais intermédios, é conveniente multiplicar as observações Z por 10 e trabalhar com inteiros; vou explicar isso no próximo passo e depois voltar aos parâmetros originais.)
Passo 4
Escrevendo explicitamente as equações normais: com ordem das colunas [\;x^{2},\;y,\;1\;],
Para evitar trabalhar com décimos repetidos, defino z'=10z. Então as equações normais para \theta' = 10\theta (porque A^{T}A não muda, enquanto A^{T}z' =10 A^{T}z) ficam com RHS inteiro:
Comparando com as alternativas disponíveis, a mais próxima é a letra (E) com valor -181{,}8. Força aí — deu trabalho, mas agora dá pra ver o passo a passo e aplicar a mesma técnica na prova.