Q10: Seja \theta o ângulo entre os vetores ( 1,5,-4,-3 ) e (4,-2,-5,3) em \mathbb{R}^{4}. Assinale a alternativa correta:
(A) 0 \leqslant \theta \leqslant \pi / 6
(B) \pi / 6<\theta \leqslant \pi / 4
(C) \pi / 4<\theta \leqslant \pi / 3
(D) \pi / 3<\theta \leqslant \pi / 2
(E) \pi / 2<\theta \leqslant 2 \pi / 3
(F) 2 \pi / 3<\theta \leqslant 3 \pi / 4
(G) 3 \pi / 4<\theta \leqslant 5 \pi / 6
(H) 5 \pi / 6<\theta \leqslant \pi

Passo 1

O enunciado pede que se determine em qual intervalo o ângulo \theta entre dois vetores em \mathbb{R}^4 se encontra, escolhendo a alternativa correta. Os vetores fornecidos são:
  • \mathbf{u} = (1,5,-4,-3),
  • \mathbf{v} = (4,-2,-5,3).
Pergunta objetiva: em qual das alternativas (A)–(H) está \theta?

Passo 2

Lembrete útil (fórmula do produto escalar e relação com o ângulo). Para dois vetores \mathbf{u} e \mathbf{v} em \mathbb{R}^n vale:
\mathbf{u}\cdot\mathbf{v} = \sum_{i=1}^{n} u_i v_i,
e a relação com o ângulo \theta entre eles é
\cos\theta = \frac{\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}}{\|\mathbf{u}\|\,\|\mathbf{v}\|},
onde \|\mathbf{u}\| = \sqrt{\mathbf{u}\cdot\mathbf{u}} é a norma (comprimento) do vetor \mathbf{u}. Vou calcular \mathbf{u}\cdot\mathbf{v} passo a passo.

Passo 3

Calcular o produto escalar \mathbf{u}\cdot\mathbf{v}:
\mathbf{u}\cdot\mathbf{v} = 1\cdot4 + 5\cdot(-2) + (-4)\cdot(-5) + (-3)\cdot3.
Avaliar cada termo:
1\cdot4 = 4,\qquad 5\cdot(-2) = -10,\qquad (-4)\cdot(-5)=20,\qquad (-3)\cdot3=-9.
Somando:
\mathbf{u}\cdot\mathbf{v} = 4 -10 +20 -9 = 5.

Passo 4

Calcular as normas \|\mathbf{u}\| e \|\mathbf{v}\|.
Primeiro \|\mathbf{u}\|^2:
\|\mathbf{u}\|^2 = 1^2 + 5^2 + (-4)^2 + (-3)^2 = 1 + 25 + 16 + 9 = 51,
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\|\mathbf{u}\| = \sqrt{51}.
Agora \|\mathbf{v}\|^2:
\|\mathbf{v}\|^2 = 4^2 + (-2)^2 + (-5)^2 + 3^2 = 16 + 4 + 25 + 9 = 54,
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\|\mathbf{v}\| = \sqrt{54} = 3\sqrt{6}.

Passo 5

Calcular \cos\theta usando a fórmula:
\cos\theta = \frac{\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}}{\|\mathbf{u}\|\,\|\mathbf{v}\|} = \frac{5}{\sqrt{51}\,\sqrt{54}} = \frac{5}{\sqrt{2754}}.
Para interpretar o ângulo sem usar arcos numericamente, compare \cos\theta com valores conhecidos. Notar que
\cos\frac{\pi}{3} = \tfrac{1}{2} = 0{,}5,\qquad \cos\frac{\pi}{2} = 0.
O numerador 5 é positivo e \sqrt{2754} é aproximadamente 52{,}47, então
\cos\theta = \frac{5}{\sqrt{2754}} \approx 0{,}0953,
ou seja 0 < \cos\theta < 0{,}5.

Passo 6

Como a função \cos x é estritamente decrescente em [0,\pi], o fato de 0<\cos\theta<0{,}5 implica
\frac{\pi}{3} < \theta < \frac{\pi}{2}.
Observando os extremos inclusivos das alternativas, a alternativa que corresponde a esse intervalo é:
\pi/3 < \theta \leqslant \pi/2,
que é a alternativa (D).

Resposta

(D)

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