Q12: Sejam
Calcule
, a projeção ortogonal de
sobre
.
O valor de
, a
entrada de
, é:
Dica: Projete
em
. Procure entender por que isto é mais fácil.
(A) 1
(B) 2
(C) 3
(D) 4
(E) 5
(F) 6
O valor de
Dica: Projete
(A) 1
(B) 2
(C) 3
(D) 4
(E) 5
(F) 6
Passo 1
O enunciado dá:
e o subespaço
Pede-se a projeção ortogonal
e, especificamente, o valor da terceira entrada
de
. As opções são
.
Passo 2
Vamos usar a dica: projetar primeiro em
e subtrair de
. Explico por quê e dou a fórmula: a equação que define
tem a forma de produto interno com um vetor normal. O vetor normal a
é
pois a equação
pode ser escrita como
. Assim
que é uma reta (subespaço unidimensional). Projetar em uma reta é fácil: a projeção ortogonal de
sobre
é
Depois obtemos a projeção em
por
pois
se decompõe ortogonalmente em componente em
e componente em
.
Passo 3
Calculo o produto interno
. Usando componente a componente:
Faço as multiplicações:
Somando:
Passo 4
Calculo
(o quadrado da norma de
):
Então o coeficiente escalar na projeção é
Portanto a projeção de
em
é
Passo 5
Agora obtenho
. Subtraio componente a componente:
Faço as subtrações (note o sinal): para cada componente
,
Logo
Passo 6
Verificação rápida (opcional, só para ficar tranquilo):
deve satisfazer a equação de
. Calculo
. Está em
, perfeito.