Q12: Sejam \vec{v}=(6,9,-3,-3) \mathrm{e}
H=\left\{(x, y, z, w) \in \mathbb{R}^{4} \mid x-3 y+2 z+w=0\right\} .
Calcule \vec{w}=P_{H} \vec{v}, a projeção ortogonal de \vec{v} sobre H.
O valor de w_{3}, a 3^{\mathrm{a}} entrada de \vec{w}, é:
Dica: Projete \vec{v} em H^{\perp}. Procure entender por que isto é mais fácil.
(A) 1
(B) 2
(C) 3
(D) 4
(E) 5
(F) 6

Passo 1

O enunciado dá:
\vec{v}=(6,9,-3,-3)
e o subespaço
H=\{(x,y,z,w)\in\mathbb{R}^4 \mid x-3y+2z+w=0\}.
Pede-se a projeção ortogonal \vec{w}=P_H\vec{v} e, especificamente, o valor da terceira entrada w_3 de \vec{w}. As opções são 1,2,3,4,5,6.

Passo 2

Vamos usar a dica: projetar primeiro em H^\perp e subtrair de \vec{v}. Explico por quê e dou a fórmula: a equação que define H tem a forma de produto interno com um vetor normal. O vetor normal a H é
\vec{n}=(1,-3,2,1),
pois a equação x-3y+2z+w=0 pode ser escrita como \vec{n}\cdot (x,y,z,w)=0. Assim
H^\perp=\operatorname{span}\{\vec{n}\},
que é uma reta (subespaço unidimensional). Projetar em uma reta é fácil: a projeção ortogonal de \vec{v} sobre \operatorname{span}\{\vec{n}\} é
\operatorname{proj}_{\vec{n}}\vec{v}=\frac{\vec{v}\cdot\vec{n}}{\vec{n}\cdot\vec{n}}\;\vec{n}.
Depois obtemos a projeção em H por
\vec{w}=P_H\vec{v}=\vec{v}-\operatorname{proj}_{\vec{n}}\vec{v},
pois \vec{v} se decompõe ortogonalmente em componente em H e componente em H^\perp.

Passo 3

Calculo o produto interno \vec{v}\cdot\vec{n}. Usando componente a componente:
\vec{v}\cdot\vec{n}=6\cdot 1 + 9\cdot(-3) + (-3)\cdot 2 + (-3)\cdot 1.
Faço as multiplicações:
6\cdot 1=6,\qquad 9\cdot(-3)=-27,\qquad (-3)\cdot 2=-6,\qquad (-3)\cdot 1=-3.
Somando:
\vec{v}\cdot\vec{n}=6-27-6-3= -30.

Passo 4

Calculo \vec{n}\cdot\vec{n} (o quadrado da norma de \vec{n}):
\vec{n}\cdot\vec{n}=1^2+(-3)^2+2^2+1^2 = 1+9+4+1=15.
Então o coeficiente escalar na projeção é
\frac{\vec{v}\cdot\vec{n}}{\vec{n}\cdot\vec{n}}=\frac{-30}{15}=-2.
Portanto a projeção de \vec{v} em H^\perp é
\operatorname{proj}_{\vec{n}}\vec{v} = -2\vec{n} = -2(1,-3,2,1)=(-2,6,-4,-2).

Passo 5

Agora obtenho \vec{w}=P_H\vec{v}=\vec{v}-\operatorname{proj}_{\vec{n}}\vec{v}. Subtraio componente a componente:
\vec{w}=(6,9,-3,-3)-(-2,6,-4,-2).
Faço as subtrações (note o sinal): para cada componente w_i = v_i - (\operatorname{proj}_{\vec{n}}\vec{v})_i,
w_1 = 6 - (-2) = 8,
w_2 = 9 - 6 = 3,
w_3 = -3 - (-4) = -3 + 4 = 1,
w_4 = -3 - (-2) = -3 + 2 = -1.
Logo
\vec{w}=(8,3,1,-1).

Passo 6

Verificação rápida (opcional, só para ficar tranquilo): \vec{w} deve satisfazer a equação de H. Calculo \vec{n}\cdot\vec{w}=1\cdot 8 + (-3)\cdot 3 + 2\cdot 1 + 1\cdot(-1)=8-9+2-1=0. Está em H, perfeito.

Resposta

(A)\\\ 1

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