A pergunta é: qual é o intervalo correto para o ângulo \theta entre \mathbf{v} e \mathbf{w}, dentre as alternativas listadas (A) a (H). Listei os dados relevantes: as coordenadas dos dois vetores. A resolução vai calcular o cosseno de \theta e, a partir disso, determinar em qual intervalo de ângulos \theta cai.
Passo 2
Conceito importante (aquela mini-aula que você pediu): em \mathbb{R}^n o produto interno (ou produto escalar) entre dois vetores \mathbf{a}=(a_1,\dots,a_n) e \mathbf{b}=(b_1,\dots,b_n) é definido por
onde \theta é o ângulo entre \mathbf{v} e \mathbf{w}. Aqui \mathbf{v}\cdot\mathbf{w} é um número (escalar) e \|\mathbf{v}\| e \|\mathbf{w}\| são comprimentos (números positivos). Na prova, a ideia é: calcular produto escalar e normas, obter \cos(\theta), e depois ver em qual intervalo de ângulos aquele cosseno corresponde.
Passo 3
Calcular o produto escalar \mathbf{v}\cdot\mathbf{w} usando componente a componente:
Vou estimar esse número para compará-lo com cossenos de ângulos-padrão. Primeiro simplifico raiz:
\sqrt{1560} = \sqrt{4\cdot 390} = 2\sqrt{390}.
Para uma aproximação rápida: 19^2=361 e 20^2=400, então \sqrt{390} está entre 19 e 20. Testando 19{,}75^2 = 390{,}0625, então \sqrt{390}\approx 19{,}748. Assim
Observando -0{,}7071 < -0{,}5063 < -0{,}5 é falso na direita — reescrevo corretamente: em ordem numérica crescente temos
-0{,}7071 \;(<)\; -0{,}5063 \;(<)\; -0{,}5.
Mas como os números negativos funcionam, note que -0{,}5063 é um pouco menor (mais negativo) que -0{,}5, ou seja -0{,}5063 < -0{,}5, e é maior (menos negativo) que -0{,}7071, ou seja -0{,}7071 < -0{,}5063. Em termos de ângulos, o cosseno é decrescente no intervalo [0,\pi]: valores de cosseno menores correspondem a ângulos maiores. Assim, se
Portanto \theta está estritamente entre 2\pi/3 e 3\pi/4. Olhando as alternativas, isso corresponde ao intervalo da alternativa (F), que diz 2\pi/3 < \theta \leq 3\pi/4. Nosso cálculo dá \theta ligeiramente maior que 2\pi/3 e bem menor que 3\pi/4, então a alternativa (F) é a correta. (Se a prova exigir inclusões exatas nas extremidades, note que \cos(\theta)\neq -1/2 então \theta\neq 2\pi/3; e \cos(\theta)\neq -\sqrt{2}/2 então \theta\neq 3\pi/4.)