Q10: Seja \theta o ângulo entre os vetores (4,1,0,3) e ( -3,-5,5,-1 ) em \mathbb{R}^{4}. Assinale a alternativa correta:
(A) 0 \leqslant \theta \leqslant \pi / 6
(B) \pi / 6<\theta \leqslant \pi / 4
(C) \pi / 4<\theta \leqslant \pi / 3
(D) \pi / 3<\theta \leqslant \pi / 2
(E) \pi / 2<\theta \leqslant 2 \pi / 3
(F) 2 \pi / 3<\theta \leqslant 3 \pi / 4
(G) 3 \pi / 4<\theta \leqslant 5 \pi / 6
(H) 5 \pi / 6<\theta \leqslant \pi

Passo 1

O enunciado dá dois vetores em \mathbb{R}^4:
\mathbf{v} = (4,1,0,3)
\mathbf{w} = (-3,-5,5,-1)
A pergunta é: qual é o intervalo correto para o ângulo \theta entre \mathbf{v} e \mathbf{w}, dentre as alternativas listadas (A) a (H). Listei os dados relevantes: as coordenadas dos dois vetores. A resolução vai calcular o cosseno de \theta e, a partir disso, determinar em qual intervalo de ângulos \theta cai.

Passo 2

Conceito importante (aquela mini-aula que você pediu): em \mathbb{R}^n o produto interno (ou produto escalar) entre dois vetores \mathbf{a}=(a_1,\dots,a_n) e \mathbf{b}=(b_1,\dots,b_n) é definido por
\mathbf{a}\cdot\mathbf{b} = \sum_{i=1}^{n} a_i b_i.
A norma (comprimento) de um vetor \mathbf{a} é
\|\mathbf{a}\| = \sqrt{\mathbf{a}\cdot\mathbf{a}} = \sqrt{\sum_{i=1}^n a_i^2}.
A relação entre produto escalar e ângulo é a fórmula-chave:
\cos(\theta) = \frac{\mathbf{v}\cdot\mathbf{w}}{\|\mathbf{v}\|\,\|\mathbf{w}\|},
onde \theta é o ângulo entre \mathbf{v} e \mathbf{w}. Aqui \mathbf{v}\cdot\mathbf{w} é um número (escalar) e \|\mathbf{v}\| e \|\mathbf{w}\| são comprimentos (números positivos). Na prova, a ideia é: calcular produto escalar e normas, obter \cos(\theta), e depois ver em qual intervalo de ângulos aquele cosseno corresponde.

Passo 3

Calcular o produto escalar \mathbf{v}\cdot\mathbf{w} usando componente a componente:
\mathbf{v}\cdot\mathbf{w} = 4\cdot(-3) + 1\cdot(-5) + 0\cdot 5 + 3\cdot(-1).
Agora avalio cada termo:
4\cdot(-3) = -12,\quad 1\cdot(-5) = -5,\quad 0\cdot 5 = 0,\quad 3\cdot(-1) = -3.
Somando:
\mathbf{v}\cdot\mathbf{w} = -12 + (-5) + 0 + (-3) = -20.

Passo 4

Calcular as normas \|\mathbf{v}\| e \|\mathbf{w}\|.
Para \mathbf{v}=(4,1,0,3):
\|\mathbf{v}\| = \sqrt{4^2 + 1^2 + 0^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 1 + 0 + 9} = \sqrt{26}.
Expliquei: somei os quadrados das componentes e tirei raiz quadrada.
Para \mathbf{w}=(-3,-5,5,-1):
\|\mathbf{w}\| = \sqrt{(-3)^2 + (-5)^2 + 5^2 + (-1)^2} = \sqrt{9 + 25 + 25 + 1} = \sqrt{60}.
Podemos simplificar \sqrt{60} = 2\sqrt{15}, se quiser.

Passo 5

Agora aplico a fórmula do cosseno:
\cos(\theta) = \frac{\mathbf{v}\cdot\mathbf{w}}{\|\mathbf{v}\|\,\|\mathbf{w}\|} = \frac{-20}{\sqrt{26}\,\sqrt{60}} = \frac{-20}{\sqrt{1560}}.
Vou estimar esse número para compará-lo com cossenos de ângulos-padrão. Primeiro simplifico raiz:
\sqrt{1560} = \sqrt{4\cdot 390} = 2\sqrt{390}.
Para uma aproximação rápida: 19^2=361 e 20^2=400, então \sqrt{390} está entre 19 e 20. Testando 19{,}75^2 = 390{,}0625, então \sqrt{390}\approx 19{,}748. Assim
\sqrt{1560} \approx 2\cdot 19{,}748 \approx 39{,}496.
Logo
\cos(\theta) \approx \frac{-20}{39{,}496} \approx -0{,}5063.
Portanto \cos(\theta) é aproximadamente -0{,}5063.

Passo 6

Agora preciso comparar esse valor com os cossenos dos limites dos intervalos dados. Valores importantes:
\cos\!\left(\frac{2\pi}{3}\right) = -\tfrac{1}{2} = -0{,}5,
\cos\!\left(\frac{3\pi}{4}\right) = -\frac{\sqrt{2}}{2} \approx -0{,}7071.
Observando -0{,}7071 < -0{,}5063 < -0{,}5 é falso na direita — reescrevo corretamente: em ordem numérica crescente temos
-0{,}7071 \;(<)\; -0{,}5063 \;(<)\; -0{,}5.
Mas como os números negativos funcionam, note que -0{,}5063 é um pouco menor (mais negativo) que -0{,}5, ou seja -0{,}5063 < -0{,}5, e é maior (menos negativo) que -0{,}7071, ou seja -0{,}7071 < -0{,}5063. Em termos de ângulos, o cosseno é decrescente no intervalo [0,\pi]: valores de cosseno menores correspondem a ângulos maiores. Assim, se
\cos\!\left(\frac{3\pi}{4}\right) \approx -0{,}7071 < \cos(\theta)\approx -0{,}5063 < -0{,}5 = \cos\!\left(\frac{2\pi}{3}\right),
então o ângulo \theta satisfaz
\frac{2\pi}{3} < \theta < \frac{3\pi}{4}.
Portanto \theta está estritamente entre 2\pi/3 e 3\pi/4. Olhando as alternativas, isso corresponde ao intervalo da alternativa (F), que diz 2\pi/3 < \theta \leq 3\pi/4. Nosso cálculo dá \theta ligeiramente maior que 2\pi/3 e bem menor que 3\pi/4, então a alternativa (F) é a correta. (Se a prova exigir inclusões exatas nas extremidades, note que \cos(\theta)\neq -1/2 então \theta\neq 2\pi/3; e \cos(\theta)\neq -\sqrt{2}/2 então \theta\neq 3\pi/4.)

Resposta

(F)

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