Q11: Considere o subespaço
definido por:
. Qual dos conjuntos abaixo é base de
(complemento ortogonal de
)?
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
(F)
(G)
(H)
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
(F)
(G)
(H)
Passo 1
O enunciado dá o subespaço
e pede: qual dos conjuntos listados é uma base de
(complemento ortogonal de
)? Dados relevantes:
As alternativas fornecem vetores em
entre os quais devemos escolher a(s) que formam base de
. Não resolvemos nada ainda; só listei o que o enunciado dá e o que pede.
Passo 2
Primeiro vamos verificar se os três vetores geradores de
são todos necessários ou se algum é combinação linear dos outros (isso simplifica bastante). Denotemos
Procuramos
tais que
. Isso significa resolver componente a componente:
segunda componente: ,
terceira componente: ,
quarta componente: .
Da terceira componente obtemos .
Usando na segunda:
.
Verificando a quarta componente: , que confere.
Portanto
segunda componente:
terceira componente:
quarta componente:
Da terceira componente obtemos
Usando
Verificando a quarta componente:
Portanto
ou seja,
é combinação linear de
e
.
Passo 3
Como
depende de
, temos
Os vetores
e
são (visivelmente) linearmente independentes porque não existe escalar
tal que
(compare a terceira componente:
versus
). Assim
.
Passo 4
Recordando a definição:
.
Como , basta exigir
e
. Escreva
. O produto escalar padrão em
é
Como
onde
é a
-ésima componente de
.
Passo 5
Agora escrevemos as equações
e
explicitamente.
Para :
Para
Para
:
Temos, portanto, o sistema linear
Passo 6
Resolvendo o sistema: da primeira equação vem
. Da segunda vem
. Igualando:
.
Logo as coordenadas livres são e, por exemplo,
. Denotando
e
, temos
Logo as coordenadas livres são
ou seja
Passo 7
Da forma parametrizada acima concluímos que
Portanto
e qualquer base de
deve conter dois vetores linearmente independentes pertencentes a esse conjunto.
Passo 8
Agora verificamos quais vetores das alternativas pertencem a
. Um vetor
pertence a
exatamente quando
e
(estas são as condições que obtivemos).
Cheque rápido das alternativas relevantes (pares):
Cheque rápido das alternativas relevantes (pares):
- Para
: aqui e , portanto pertence a . - Para
: aqui e , portanto pertence a . - Para
: aqui é falso, então . - Para
: aqui é falso, então .
Passo 9
Das alternativas que contêm dois vetores (candidatas a base), somente a alternativa
tem os dois vetores em
, pois
e já vimos que ambos pertencem a
. Além disso são linearmente independentes porque nenhum é múltiplo escalar do outro (compare a primeira componente:
versus
). Dois vetores independentes em um espaço de dimensão
formam uma base. Logo
é uma base de
.
Resposta
(F)