Q11: Considere o subespaço H \subset \mathbb{R}^{4} definido por: H=\operatorname{span}\{(0,-1,2,0),(0,1,0,-2),(0,-6,8,4)\}. Qual dos conjuntos abaixo é base de H^{\perp} (complemento ortogonal de H )?
(A) \{(3,4,4,4)\}
(B) \{(2,3,-2,3)\}
(C) \{(1,4,2,2)\}
(D) \{(2,3,-2,3),(3,4,4,4)\}
(E) \{(-2,8,4,4),(3,4,4,4)\}
(F) \{(-2,8,4,4),(1,4,2,2)\}
(G) \{(-2,8,4,4)\}
(H) \{(2,3,-2,3),(1,4,2,2)\}

Passo 1

O enunciado dá o subespaço H\subset\mathbb{R}^4 e pede: qual dos conjuntos listados é uma base de H^{\perp} (complemento ortogonal de H)? Dados relevantes:
H=\operatorname{span}\{(0,-1,2,0),\;(0,1,0,-2),\;(0,-6,8,4)\}.
As alternativas fornecem vetores em \mathbb{R}^4 entre os quais devemos escolher a(s) que formam base de H^{\perp}. Não resolvemos nada ainda; só listei o que o enunciado dá e o que pede.

Passo 2

Primeiro vamos verificar se os três vetores geradores de H são todos necessários ou se algum é combinação linear dos outros (isso simplifica bastante). Denotemos
v_1=(0,-1,2,0),\quad v_2=(0,1,0,-2),\quad v_3=(0,-6,8,4).
Procuramos k,\ell tais que v_3 = k v_1 + \ell v_2. Isso significa resolver componente a componente:
segunda componente: -6 = -k + \ell,
terceira componente: 8 = 2k + 0\cdot\ell,
quarta componente: 4 = 0\cdot k -2\ell.
Da terceira componente obtemos 2k = 8\Rightarrow k=4.
Usando k=4 na segunda: -6 = -4 + \ell \Rightarrow \ell = -2.
Verificando a quarta componente: -2\ell = -2(-2)=4, que confere.
Portanto
v_3 = 4v_1 -2v_2,
ou seja, v_3 é combinação linear de v_1 e v_2.

Passo 3

Como v_3 depende de v_1,v_2, temos
H=\operatorname{span}\{v_1,v_2\}.
Os vetores v_1 e v_2 são (visivelmente) linearmente independentes porque não existe escalar t tal que v_2 = t v_1 (compare a terceira componente: 0 versus 2). Assim \dim H=2.

Passo 4

Recordando a definição: H^{\perp}=\{u\in\mathbb{R}^4 \mid u\cdot w = 0\\ \text{para todo}\\ w\in H\}.
Como H=\operatorname{span}\{v_1,v_2\}, basta exigir u\cdot v_1=0 e u\cdot v_2=0. Escreva u=(x_1,x_2,x_3,x_4). O produto escalar padrão em \mathbb{R}^4 é
u\cdot v = x_1 v_1^{(1)} + x_2 v_1^{(2)} + x_3 v_1^{(3)} + x_4 v_1^{(4)},
onde v^{(j)} é a j-ésima componente de v.

Passo 5

Agora escrevemos as equações u\cdot v_1=0 e u\cdot v_2=0 explicitamente.
Para v_1=(0,-1,2,0):
u\cdot v_1 = 0\cdot x_1 + (-1)\cdot x_2 + 2\cdot x_3 + 0\cdot x_4 = -x_2 + 2x_3 = 0.
Para v_2=(0,1,0,-2):
u\cdot v_2 = 0\cdot x_1 + 1\cdot x_2 + 0\cdot x_3 + (-2)\cdot x_4 = x_2 - 2x_4 = 0.
Temos, portanto, o sistema linear
\begin{cases} -x_2 + 2x_3 = 0,\\[4pt] x_2 - 2x_4 = 0. \end{cases}]

Passo 6

Resolvendo o sistema: da primeira equação vem x_2 = 2x_3. Da segunda vem x_2 = 2x_4. Igualando: 2x_3 = 2x_4\Rightarrow x_3 = x_4.
Logo as coordenadas livres são x_1 e, por exemplo, x_3. Denotando a=x_1 e b=x_3, temos
x_2 = 2b,\quad x_3=b,\quad x_4=b,
ou seja
u = (a,2b,b,b) = a(1,0,0,0) + b(0,2,1,1).

Passo 7

Da forma parametrizada acima concluímos que
H^{\perp} = \{(a,2b,b,b)\mid a,b\in\mathbb{R}\} = \operatorname{span}\{(1,0,0,0),\;(0,2,1,1)\}.
Portanto \dim H^{\perp}=2 e qualquer base de H^{\perp} deve conter dois vetores linearmente independentes pertencentes a esse conjunto.

Passo 8

Agora verificamos quais vetores das alternativas pertencem a H^{\perp}. Um vetor u=(u_1,u_2,u_3,u_4) pertence a H^{\perp} exatamente quando u_2=2u_3 e u_3=u_4 (estas são as condições que obtivemos).
Cheque rápido das alternativas relevantes (pares):
  • Para (-2,8,4,4): aqui 8 = 2\cdot 4 e 4=4, portanto pertence a H^{\perp}.
  • Para (1,4,2,2): aqui 4 = 2\cdot 2 e 2=2, portanto pertence a H^{\perp}.
  • Para (3,4,4,4): aqui 4 \stackrel{?}{=} 2\cdot 4 é falso, então (3,4,4,4)\notin H^{\perp}.
  • Para (2,3,-2,3): aqui 3 \stackrel{?}{=} 2\cdot(-2) é falso, então (2,3,-2,3)\notin H^{\perp}.

Passo 9

Das alternativas que contêm dois vetores (candidatas a base), somente a alternativa F tem os dois vetores em H^{\perp}, pois F=\{(-2,8,4,4),(1,4,2,2)\} e já vimos que ambos pertencem a H^{\perp}. Além disso são linearmente independentes porque nenhum é múltiplo escalar do outro (compare a primeira componente: -2 versus 1). Dois vetores independentes em um espaço de dimensão 2 formam uma base. Logo F é uma base de H^{\perp}.

Resposta

(F)

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