Q4: São dadas abaixo as inversas das matrizes A e B :
A^{-1}=\left[\begin{array}{ll} -1 & 1 \\\\ -2 & 1 \end{array}\right] \quad \text { e } \quad B^{-1}=\left[\begin{array}{ll} 2 & -2 \\\\ 1 & -2 \end{array}\right] .
Calcule a solução \vec{x} do sistema linear A B \vec{x}=\left[\begin{array}{r}2 \\\\ -2\end{array}\right] . \mathrm{O} valor da primeira entrada de \vec{x} é:
(A) 3
(B) 4
(C) 5
(D) 2
(E) Não sei

Passo 1

O enunciado dá as inversas das matrizes A e B e pede a primeira entrada da solução \vec{x} do sistema
A B \vec{x}=\begin{pmatrix}2\\\ -2\end{pmatrix}.
Informações fornecidas:
A^{-1}=\begin{pmatrix}-1 & 1\\[4pt]-2 & 1\end{pmatrix}, \qquad B^{-1}=\begin{pmatrix}2 & -2\\[4pt]1 & -2\end{pmatrix}, \qquad \vec{b}=\begin{pmatrix}2\\[4pt]-2\end{pmatrix}.
O que é pedido: a primeira entrada (o primeiro componente) do vetor \vec{x} solução do sistema acima. Não vou resolver ainda aqui, só organizei o que temos e o que é pedido.]

Passo 2

Ideia geral e propriedade necessária (explicação didática): para resolver um sistema linear da forma A B \vec{x}=\vec{b}, se as matrizes A e B forem invertíveis, podemos usar a inversa do produto. A propriedade importante é
(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}.
Isso significa que, para isolar \vec{x}, multiplicamos ambos os lados por (AB)^{-1} à esquerda:
\vec{x}=(AB)^{-1}\vec{b}=B^{-1}A^{-1}\vec{b}.
Comentário didático sobre ordem: atenção — multiplicação de matrizes não comuta, então a ordem B^{-1}A^{-1} é crucial (não é A^{-1}B^{-1}). Uma forma prática de calcular é primeiro calcular \vec{y}=A^{-1}\vec{b} e depois \vec{x}=B^{-1}\vec{y}. Agora aplicamos isso com os dados.

Passo 3

Calcule \vec{y}=A^{-1}\vec{b}. Recordando que multiplicação matriz‑vetor é produto escalar de cada linha da matriz com a coluna do vetor:
A^{-1}=\begin{pmatrix}-1 & 1\\[4pt]-2 & 1\end{pmatrix},\qquad \vec{b}=\begin{pmatrix}2\\[4pt]-2\end{pmatrix}.
Primeiro componente de \vec{y}:
y_1 = (-1)\cdot 2 + 1\cdot(-2) = -2 - 2 = -4.
Segundo componente de \vec{y}:
y_2 = (-2)\cdot 2 + 1\cdot(-2) = -4 - 2 = -6.
Portanto
\vec{y}=A^{-1}\vec{b}=\begin{pmatrix}-4\\[4pt]-6\end{pmatrix}.]

Passo 4

Agora calculamos \vec{x}=B^{-1}\vec{y}. Usamos
B^{-1}=\begin{pmatrix}2 & -2\\[4pt]1 & -2\end{pmatrix},\qquad \vec{y}=\begin{pmatrix}-4\\[4pt]-6\end{pmatrix}.
Primeiro componente de \vec{x}:
x_1 = 2\cdot(-4) + (-2)\cdot(-6) = -8 + 12 = 4.
Segundo componente de \vec{x}:
x_2 = 1\cdot(-4) + (-2)\cdot(-6) = -4 + 12 = 8.
Assim
\vec{x}= \begin{pmatrix}4\\[4pt]8\end{pmatrix}.]

Passo 5

Interpretação final e checagem rápida: obtivemos \vec{x}=\begin{pmatrix}4\\[4pt]8\end{pmatrix}. Isso satisfaz a forma \vec{x}=B^{-1}A^{-1}\vec{b} e os cálculos foram feitos por multiplicações linha×coluna, com atenção à ordem das matrizes inversas. A primeira entrada (primeiro componente) de \vec{x} é 4, que corresponde à alternativa correta.]

Resposta

(B) 4

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