Calcule a solução \vec{x} do sistema linear A B \vec{x}=\left[\begin{array}{r}2 \\\\ -2\end{array}\right] . \mathrm{O} valor da primeira entrada de \vec{x} é:
(A) 3
(B) 4
(C) 5
(D) 2
(E) Não sei
Passo 1
O enunciado dá as inversas das matrizes A e B e pede a primeira entrada da solução \vec{x} do sistema
O que é pedido: a primeira entrada (o primeiro componente) do vetor \vec{x} solução do sistema acima. Não vou resolver ainda aqui, só organizei o que temos e o que é pedido.]
Passo 2
Ideia geral e propriedade necessária (explicação didática): para resolver um sistema linear da forma A B \vec{x}=\vec{b}, se as matrizes A e B forem invertíveis, podemos usar a inversa do produto. A propriedade importante é
(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}.
Isso significa que, para isolar \vec{x}, multiplicamos ambos os lados por (AB)^{-1} à esquerda:
\vec{x}=(AB)^{-1}\vec{b}=B^{-1}A^{-1}\vec{b}.
Comentário didático sobre ordem: atenção — multiplicação de matrizes não comuta, então a ordem B^{-1}A^{-1} é crucial (não é A^{-1}B^{-1}). Uma forma prática de calcular é primeiro calcular \vec{y}=A^{-1}\vec{b} e depois \vec{x}=B^{-1}\vec{y}. Agora aplicamos isso com os dados.
Passo 3
Calcule \vec{y}=A^{-1}\vec{b}. Recordando que multiplicação matriz‑vetor é produto escalar de cada linha da matriz com a coluna do vetor:
Interpretação final e checagem rápida: obtivemos \vec{x}=\begin{pmatrix}4\\[4pt]8\end{pmatrix}. Isso satisfaz a forma \vec{x}=B^{-1}A^{-1}\vec{b} e os cálculos foram feitos por multiplicações linha×coluna, com atenção à ordem das matrizes inversas. A primeira entrada (primeiro componente) de \vec{x} é 4, que corresponde à alternativa correta.]