Q11: Seja T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3} a transformação
T(x, y, z)=\left(7 x-4 y+5 z, \frac{y}{2}-9 z, z\right)
e seja Q \subset \mathbb{R}^{3} um paralelepípedo com volume 8 . O volume do paralelepípedo transformado T(Q) :
(A) é igual ao volume de Q.
(B) é maior do que o volume de Q.
(C) é menor do que o volume de Q.
(D) pode ser maior ou menor do que o volume de Q.
(E) Não sei
Passo 1
O enunciado dá uma transformação linear T:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3 definida por
e diz que Q\subset\mathbb{R}^3 é um paralelepípedo com volume 8. A pergunta é: qual é a relação entre o volume de T(Q) e o volume de Q? As alternativas são:
(A) igual, (B) maior, (C) menor, (D) pode ser maior ou menor, (E) Não sei.
Informações relevantes que temos:
A expressão de T (que nos dá as coordenadas da imagem de um vetor).
O volume de Q é 8.
A transformação é linear (isso é importante para usar propriedades de determinante e escala de volume).
Passo 2
Ideia chave (explicada com calma): uma transformação linear representada por uma matriz A transforma volumes multiplicando-os por um fator igual ao valor absoluto do determinante de A. Em palavras: se A é a matriz de T na base canônica, então
\text{vol}(T(Q)) = |\det(A)|\cdot \text{vol}(Q).
Por que isso? Intuição e mini-aula:
Pense no cubo unitário em \mathbb{R}^3. A imagem desse cubo por T é um paralelepípedo cujo volume é exatamente |\det(A)|. Essa é a definição geométrica do determinante: fator de escala (orientado) de volumes.
Para um paralelepípedo qualquer gerado por vetores v_1,v_2,v_3, sua imagem é gerada por Av_1,Av_2,Av_3, e o volume muda do fator |\det(A)| por linearidade do determinante.
Exemplo simples para fixar: se A=\operatorname{diag}(a,b,c) (matriz diagonal), então A estica as direções coordenadas por a,b,c e o volume do cubo unitário vira abc, ou seja \det(A)=abc.
Passo 3
Vamos extrair a matriz A associada a T na base canônica. A transformação dá as coordenadas lineares em x,y,z, então as colunas da matriz são as imagens de (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1). Observando T:
(Verifique: peguei esses coeficientes diretamente da expressão de T(x,y,z).)]
Passo 4
Cálculo do determinante. Note que A é uma matriz triangular superior (todos os elementos abaixo da diagonal principal são zero). Para matrizes triangulares vale uma propriedade muito útil:
\det(A)=\text{produto dos elementos da diagonal principal}.
Aqui a diagonal é 7,\;\tfrac{1}{2},\;1. Logo
\det(A)=7\cdot \tfrac{1}{2}\cdot 1=\tfrac{7}{2}.
O fator de escala de volumes é |\det(A)|=\tfrac{7}{2}. (Observação rápida: \tfrac{7}{2}=3,5, então é maior que 1.)
Passo 5
Agora aplicamos a fórmula do Passo 2 para o volume de Q. Como \text{vol}(Q)=8,
Faça a conta sem calculadora: \tfrac{7}{2}\cdot 8 = 7\cdot 4 = 28. Portanto o volume de T(Q) é 28.
Passo 6
Conclusão lógica: o volume de T(Q) é 28, que é maior que 8. Então, entre as alternativas dadas, a correta é a que diz que o volume transformado é maior do que o volume original.