Q13: Calcule o polinômio característico da matriz A abaixo:
A=\left[\begin{array}{rrrrrrrr} 2 & 1 & -1 & -4 & -7 & -1 & 2 & -6 \\\\ 0 & 2 & 6 & -3 & -6 & -3 & 5 & -5 \\\\ 0 & 0 & -5 & 0 & 0 & 3 & -2 & -3 \\\\ 0 & 0 & 2 & -3 & 1 & 4 & 1 & 1 \\\\ 0 & 0 & 2 & 12 & 1 & 1 & -4 & 4 \\\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 2 & 1 & 0 \\\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 6 & -3 & 0 \\\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 3 & -5 & -4 \end{array}\right]
Dica: explore a estrutura em blocos da matriz.
(A) p_{c}^{A}(\lambda)=(-3-\lambda)^{3}(4-\lambda)^{2}(-2-\lambda)^{2}(5-\lambda)
(B) p_{c}^{A}(\lambda)=(2-\lambda)^{3}(-5-\lambda)^{2}(3-\lambda)^{2}(-4-\lambda)
(C) p_{c}^{A}(\lambda)=(2-\lambda)^{3}(-5-\lambda)^{3}(3-\lambda)(-4-\lambda)
(D) p_{c}^{A}(\lambda)=(-3-\lambda)^{3}(4-\lambda)^{3}(-2-\lambda)^{2}
(E) p_{c}^{A}(\lambda)=(2-\lambda)^{3}(-5-\lambda)^{3}(3-\lambda)^{2}
(F) p_{c}^{A}(\lambda)=(2-\lambda)^{2}(-5-\lambda)^{2}(3-\lambda)^{2}(-4-\lambda)^{2}
(G) p_{c}^{A}(\lambda)=(-3-\lambda)^{3}(4-\lambda)^{3}(-2-\lambda)(5-\lambda)
(H) p_{c}^{A}(\lambda)=(-3-\lambda)^{2}(4-\lambda)^{2}(-2-\lambda)^{2}(5-\lambda)^{2}

Passo 1

O enunciado pede para calcular o polinômio característico da matriz A de ordem 8. A matriz dada é
A=\begin{pmatrix} 2 & 1 & -1 & -4 & -7 & -1 & 2 & -6 \\\\ 0 & 2 & 6 & -3 & -6 & -3 & 5 & -5 \\\\ 0 & 0 & -5 & 0 & 0 & 3 & -2 & -3 \\\\ 0 & 0 & 2 & -3 & 1 & 4 & 1 & 1 \\\\ 0 & 0 & 2 & 12 & 1 & 1 & -4 & 4 \\\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 2 & 1 & 0 \\\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 6 & -3 & 0 \\\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 3 & -5 & -4 \end{pmatrix}.
Informações relevantes extraídas do enunciado e da matriz:
  • A é uma matriz 8\times 8.
  • As linhas 6,7,8 têm zeros nas colunas 1 a 5 (ou seja, o bloco inferior-esquerdo é a matriz zero).
  • O enunciado sugere explorar a estrutura em blocos da matriz.

Passo 2

Qual método vamos usar e por quê (explicação curta e intuitiva):
  • Quando uma matriz tem a forma de bloco superior-triangular A=\begin{pmatrix}B & C\\[4pt]0 & D\end{pmatrix},então, para qualquer \lambda, temos A-\lambda I=\begin{pmatrix}B-\lambda I & C\\[4pt]0 & D-\lambda I\end{pmatrix}e a propriedade de determinante de blocos diz que \det(A-\lambda I)=\det(B-\lambda I)\cdot\det(D-\lambda I).Isso reduz o problema de uma matriz 8\times 8 ao produto dos polinômios característicos dos blocos diagonais B e D.
  • Vou aplicar essa propriedade: identificar os blocos B e D, calcular \det(B-\lambda I) e \det(D-\lambda I) separadamente e multiplicar.]

Passo 3

Identificação explícita dos blocos (peguei-os da própria matriz A):
  • Bloco superior-esquerdo B (ordem 5, linhas e colunas 1 a 5):
B=\begin{pmatrix} 2 & 1 & -1 & -4 & -7 \\\\ 0 & 2 & 6 & -3 & -6 \\\\ 0 & 0 & -5 & 0 & 0 \\\\ 0 & 0 & 2 & -3 & 1 \\\\ 0 & 0 & 2 & 12 & 1 \end{pmatrix}.
  • Bloco inferior-direito D (ordem 3, linhas e colunas 6 a 8):
D=\begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \\\\ 6 & -3 & 0 \\\\ 3 & -5 & -4 \end{pmatrix}.
Logo
\det(A-\lambda I)=\det(B-\lambda I)\cdot\det(D-\lambda I).

Passo 4

Cálculo de \det(D-\lambda I) passo a passo:
Escrevemos
D-\lambda I=\begin{pmatrix} 2-\lambda & 1 & 0 \\\\ 6 & -3-\lambda & 0 \\\\ 3 & -5 & -4-\lambda \end{pmatrix}.
Observe que a terceira coluna tem zeros nas duas primeiras entradas; expandindo o determinante pela terceira coluna (ou percebendo que é um bloco triangular pelo último elemento) obtemos
\det(D-\lambda I)=(-4-\lambda)\cdot\det\begin{pmatrix}2-\lambda & 1 \\[4pt] 6 & -3-\lambda\end{pmatrix}.
Calcule a 2\times2:
\det\begin{pmatrix}2-\lambda & 1 \\[4pt] 6 & -3-\lambda\end{pmatrix}=(2-\lambda)(-3-\lambda)-6.
Expandindo:
(2-\lambda)(-3-\lambda)=\lambda^{2}+\lambda-6,
portanto
(2-\lambda)(-3-\lambda)-6=\lambda^{2}+\lambda-12.
Fatorando \lambda^{2}+\lambda-12=(\lambda+4)(\lambda-3). Assim
\det(D-\lambda I)=(-4-\lambda)\,(\lambda+4)\,(\lambda-3).
Note que -4-\lambda=-(\lambda+4), então podemos escrever
\det(D-\lambda I)=-(\lambda+4)^{2}(\lambda-3).]

Passo 5

Análise do bloco B: observando B vemos que as duas primeiras colunas têm zeros abaixo da diagonal naquelas posições, logo B também é bloco triangular do tipo
B=\begin{pmatrix}E & F\\[4pt]0 & G\end{pmatrix},
onde E é 2\times2 (linhas e colunas 1,2) e G é 3\times3 (linhas e colunas 3,4,5). Assim
\det(B-\lambda I)=\det(E-\lambda I_2)\cdot\det(G-\lambda I_3).]

Passo 6

Cálculo de \det(E-\lambda I_2):
E=\begin{pmatrix}2 & 1\\[4pt]0 & 2\end{pmatrix}, \qquad E-\lambda I_2=\begin{pmatrix}2-\lambda & 1\\[4pt]0 & 2-\lambda\end{pmatrix}.
Logo
\det(E-\lambda I_2)=(2-\lambda)^{2}.]

Passo 7

Cálculo de \det(G-\lambda I_3):
O bloco
G=\begin{pmatrix} -5 & 0 & 0 \\\\ 2 & -3 & 1 \\\\ 2 & 12 & 1 \end{pmatrix},
então
G-\lambda I_3=\begin{pmatrix} -5-\lambda & 0 & 0 \\\\ 2 & -3-\lambda & 1 \\\\ 2 & 12 & 1-\lambda \end{pmatrix}.
Expandindo pelo primeiro linha (que tem zeros nas colunas 2 e 3),
\det(G-\lambda I_3)=(-5-\lambda)\cdot\det\begin{pmatrix}-3-\lambda & 1 \\[4pt] 12 & 1-\lambda\end{pmatrix}.
Calcule a 2\times2:
(-3-\lambda)(1-\lambda)-12=\lambda^{2}+2\lambda-15.
Fatorando \lambda^{2}+2\lambda-15=(\lambda+5)(\lambda-3). Assim
\det(G-\lambda I_3)=(-5-\lambda)\,(\lambda+5)\,(\lambda-3).
Como -5-\lambda=-(\lambda+5), temos
\det(G-\lambda I_3)=-(\lambda+5)^{2}(\lambda-3).]

Passo 8

Agora juntamos os resultados para B:
\det(B-\lambda I)=\det(E-\lambda I_2)\cdot\det(G-\lambda I_3)=(2-\lambda)^{2}\cdot\bigl(-(\lambda+5)^{2}(\lambda-3)\bigr).
Logo
\det(B-\lambda I)=-\,(2-\lambda)^{2}(\lambda+5)^{2}(\lambda-3).

Passo 9

Produto final \det(A-\lambda I)=\det(B-\lambda I)\cdot\det(D-\lambda I). Substituindo as expressões obtidas:
\det(A-\lambda I)=\bigl(-\,(2-\lambda)^{2}(\lambda+5)^{2}(\lambda-3)\bigr)\cdot\bigl(-\,(\lambda+4)^{2}(\lambda-3)\bigr).
Os dois sinais negativos se cancelam, então
\det(A-\lambda I)=(2-\lambda)^{2}(\lambda+5)^{2}(\lambda+4)^{2}(\lambda-3)^{2}.
Para comparar com as alternativas, reescrevemos \lambda+5 como -5-\lambda e \lambda+4 como -4-\lambda, e \lambda-3 como 3-\lambda (note que as potências pares anulam o sinal):
\det(A-\lambda I)=(2-\lambda)^{2}(-5-\lambda)^{2}(-4-\lambda)^{2}(3-\lambda)^{2}.
Isso corresponde exatamente à alternativa (F).

Resposta

(F)

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