Informações relevantes extraídas do enunciado e da matriz:
A é uma matriz 8\times 8.
As linhas 6,7,8 têm zeros nas colunas 1 a 5 (ou seja, o bloco inferior-esquerdo é a matriz zero).
O enunciado sugere explorar a estrutura em blocos da matriz.
Passo 2
Qual método vamos usar e por quê (explicação curta e intuitiva):
Quando uma matriz tem a forma de bloco superior-triangularA=\begin{pmatrix}B & C\\[4pt]0 & D\end{pmatrix},então, para qualquer \lambda, temosA-\lambda I=\begin{pmatrix}B-\lambda I & C\\[4pt]0 & D-\lambda I\end{pmatrix}e a propriedade de determinante de blocos diz que\det(A-\lambda I)=\det(B-\lambda I)\cdot\det(D-\lambda I).Isso reduz o problema de uma matriz 8\times 8 ao produto dos polinômios característicos dos blocos diagonais B e D.
Vou aplicar essa propriedade: identificar os blocos B e D, calcular \det(B-\lambda I) e \det(D-\lambda I) separadamente e multiplicar.]
Passo 3
Identificação explícita dos blocos (peguei-os da própria matriz A):
Bloco superior-esquerdo B (ordem 5, linhas e colunas 1 a 5):
Observe que a terceira coluna tem zeros nas duas primeiras entradas; expandindo o determinante pela terceira coluna (ou percebendo que é um bloco triangular pelo último elemento) obtemos
Note que -4-\lambda=-(\lambda+4), então podemos escrever
\det(D-\lambda I)=-(\lambda+4)^{2}(\lambda-3).]
Passo 5
Análise do bloco B: observando B vemos que as duas primeiras colunas têm zeros abaixo da diagonal naquelas posições, logo B também é bloco triangular do tipo
B=\begin{pmatrix}E & F\\[4pt]0 & G\end{pmatrix},
onde E é 2\times2 (linhas e colunas 1,2) e G é 3\times3 (linhas e colunas 3,4,5). Assim
Para comparar com as alternativas, reescrevemos \lambda+5 como -5-\lambda e \lambda+4 como -4-\lambda, e \lambda-3 como 3-\lambda (note que as potências pares anulam o sinal):