Q12: A matriz R abaixo representa uma rotação em torno de um eixo passando pela origem, em \mathbb{R}^{3} :
R=\frac{1}{45}\left[\begin{array}{rrr} 35 & 4 & -28 \\\\ -20 & 35 & -20 \\\\ 20 & 28 & 29 \end{array}\right] .
Qual é o cosseno do ângulo de rotação?
Dica: Determine eixo de rotação, uma direção ortogonal ao eixo e determine o ângulo que este vetor é rodado.
(A) -\frac{4}{5}
(B) -\frac{3}{5}
(C) \frac{4}{5}
(D) -\frac{1}{2}
(E) \frac{3}{5}
(F) \frac{3}{4}
(G) \frac{1}{2}
(H) -\frac{3}{4}

Passo 1

O enunciado dá a matriz
R=\frac{1}{45}\begin{pmatrix} 35 & 4 & -28 \\\\ -20 & 35 & -20 \\\\ 20 & 28 & 29 \end{pmatrix}
e pede o cosseno do ângulo de rotação associado a essa transformação em \mathbb{R}^3. A dica diz: determine o eixo de rotação, escolha uma direção ortogonal ao eixo e calcule o ângulo que essa direção sofre ao ser rodada por R.
Informações relevantes listadas:
  • A matriz R representa uma rotação em torno de algum eixo passando pela origem.
  • Para encontrar o eixo de rotação devemos achar vetores v tais que R v = v (vetores fixos, autovalor 1).
  • Depois devemos escolher um vetor u ortogonal ao eixo (ou seja, u\cdot v = 0), aplicar R em u e medir o ângulo entre u e R u. O cosseno do ângulo é dado pelo produto escalar normalizado.

Passo 2

Encontrar o eixo de rotação: buscamos vetores v com R v = v. Isso equivale a (R-I)v=0. Como R=\tfrac{1}{45}A com
A=\begin{pmatrix} 35 & 4 & -28 \\\\ -20 & 35 & -20 \\\\ 20 & 28 & 29 \end{pmatrix},
temos (R-I)v=0 \iff (A-45I)v=0. Vamos resolver o sistema linear (A-45I)v=0.

Passo 3

Calcule A-45I:
A-45I=\begin{pmatrix} 35-45 & 4 & -28 \\\\ -20 & 35-45 & -20 \\\\ 20 & 28 & 29-45 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -10 & 4 & -28 \\\\ -20 & -10 & -20 \\\\ 20 & 28 & -16 \end{pmatrix}.
Escrevendo o sistema (A-45I)(x,y,z)^T=0 obtemos as equações
\begin{cases} -10x+4y-28z=0,\\[4pt] -20x-10y-20z=0,\\[4pt] 20x+28y-16z=0. \end{cases}
Simplificando cada equação (dividindo pelos fatores comuns) obtemos
\begin{cases} 5x-2y+14z=0,\\[4pt] 2x+y+2z=0,\\[4pt] 10x+14y-8z=0. \end{cases}]

Passo 4

Resolva o sistema reduzido. Da segunda equação temos
y=-2x-2z.
Substituindo em 5x-2y+14z=0:
5x-2(-2x-2z)+14z=5x+4x+4z+14z=9x+18z=0.
Isto dá 9x+18z=0\Rightarrow x=-2z. Então
y=-2(-2z)-2z=4z-2z=2z.
Tomando z=1 (para um representante simples) obtemos o vetor eixo
v=(-2,2,1).
Esse vetor satisfaz (A-45I)v=0, logo R v=v: é direção do eixo de rotação.

Passo 5

Escolher um vetor u ortogonal ao eixo. Precisamos de u com u\cdot v=0. Testando vetores simples, u=(1,1,0) tem produto escalar
u\cdot v = 1\cdot(-2)+1\cdot2+0\cdot1 = -2+2+0=0,
portanto u=(1,1,0) é ortogonal ao eixo. Esse é um vetor conveniente para medir a rotação.

Passo 6

Aplicar R a u. Primeiro calcule A u:
A\begin{pmatrix}1\\[2pt]1\\[2pt]0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 35\cdot1+4\cdot1-28\cdot0\\[4pt] -20\cdot1+35\cdot1-20\cdot0\\[4pt] 20\cdot1+28\cdot1+29\cdot0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}39\\[2pt]15\\[2pt]48\end{pmatrix}.
Então
R u = \frac{1}{45}A u = \frac{1}{45}\begin{pmatrix}39\\[2pt]15\\[2pt]48\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\tfrac{39}{45}\\[2pt]\tfrac{15}{45}\\[2pt]\tfrac{48}{45}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\tfrac{13}{15}\\[2pt]\tfrac{1}{3}\\[2pt]\tfrac{16}{15}\end{pmatrix}.]

Passo 7

Verificar que R preserva o comprimento de u (como deve, por ser rotação). O comprimento de u é
\|u\|^2 = 1^2+1^2+0^2 = 2.
O comprimento de R u é
\left\|\!R u\right\|^2 = \left(\tfrac{13}{15}\right)^2+\left(\tfrac{1}{3}\right)^2+\left(\tfrac{16}{15}\right)^2 = \frac{169}{225}+\frac{1}{9}+\frac{256}{225} = \frac{169+25+256}{225} = \frac{450}{225}=2,
logo \|R u\|=\|u\|, OK.

Passo 8

Calcular o cosseno do ângulo entre u e R u. A fórmula do cosseno entre dois vetores a e b é
\cos\theta=\frac{a\cdot b}{\|a\|\,\|b\|},
onde a\cdot b é o produto escalar e \|a\| é a norma. Aqui a=u e b=R u. Calcule o produto escalar:
u\cdot (R u) = 1\cdot\tfrac{13}{15} + 1\cdot\tfrac{1}{3} + 0\cdot\tfrac{16}{15} = \tfrac{13}{15}+\tfrac{1}{3} = \tfrac{13}{15}+\tfrac{5}{15}=\tfrac{18}{15}=\tfrac{6}{5}.
Como \|u\|=\|R u\|=\sqrt{2}, temos
\cos\theta = \frac{u\cdot (R u)}{\|u\|\,\|R u\|}=\frac{\tfrac{6}{5}}{\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}}=\frac{\tfrac{6}{5}}{2}=\tfrac{3}{5}.

Resposta

\dfrac{3}{5}

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