Qual é o cosseno do ângulo de rotação?
Dica: Determine eixo de rotação, uma direção ortogonal ao eixo e determine o ângulo que este vetor é rodado.
(A) -\frac{4}{5}
(B) -\frac{3}{5}
(C) \frac{4}{5}
(D) -\frac{1}{2}
(E) \frac{3}{5}
(F) \frac{3}{4}
(G) \frac{1}{2}
(H) -\frac{3}{4}
e pede o cosseno do ângulo de rotação associado a essa transformação em \mathbb{R}^3. A dica diz: determine o eixo de rotação, escolha uma direção ortogonal ao eixo e calcule o ângulo que essa direção sofre ao ser rodada por R.
Informações relevantes listadas:
A matriz R representa uma rotação em torno de algum eixo passando pela origem.
Para encontrar o eixo de rotação devemos achar vetores v tais que R v = v (vetores fixos, autovalor 1).
Depois devemos escolher um vetor u ortogonal ao eixo (ou seja, u\cdot v = 0), aplicar R em u e medir o ângulo entre u e R u. O cosseno do ângulo é dado pelo produto escalar normalizado.
Passo 2
Encontrar o eixo de rotação: buscamos vetores v com R v = v. Isso equivale a (R-I)v=0. Como R=\tfrac{1}{45}A com
R u = \frac{1}{45}A u = \frac{1}{45}\begin{pmatrix}39\\[2pt]15\\[2pt]48\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\tfrac{39}{45}\\[2pt]\tfrac{15}{45}\\[2pt]\tfrac{48}{45}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\tfrac{13}{15}\\[2pt]\tfrac{1}{3}\\[2pt]\tfrac{16}{15}\end{pmatrix}.]
Passo 7
Verificar que R preserva o comprimento de u (como deve, por ser rotação). O comprimento de u é