Calcule a área lateral, a área total e o volume de um cilindro equilátero de raio igual a r.

Passo 1

O enunciado pede três coisas: a área lateral, a área total e o volume de um cilindro equilátero, cujo raio da base vale r.
Informações fornecidas (e que vou usar):
  • raio da base: r
  • o cilindro é equilátero, isto é, sua altura h é igual ao diâmetro da base. Portanto h = 2r.

Passo 2

Vou explicar as fórmulas que precisamos, passo a passo, de forma bem didática.
A base do cilindro é um círculo de raio r. A área do círculo (área da base) é dada por
A_{\text{base}}=\pi r^{2}
onde \pi é a constante aproximada 3{,}14159\ldots e r é o raio.
A circunferência da base (o perímetro do círculo) vale
C=2\pi r.
A superfície lateral do cilindro pode ser “desenrolada” e vira um retângulo cuja altura é h e cuja largura é a circunferência C. Assim a área lateral é
A_{\text{lat}} = (\text{circunferência})\times(\text{altura}) = 2\pi r \; h.ê
A área total do cilindro é a soma da área lateral com as duas bases:
A_{\text{tot}} = A_{\text{lat}} + 2A_{\text{base}}.
O volume do cilindro é a área da base vezes a altura:
V = A_{\text{base}}\; h = \pi r^{2} h.

Passo 3

Agora uso a propriedade “equilátero” h=2r e calculo a área lateral substituindo h em A_{\text{lat}}=2\pi r h.
Começo com
A_{\text{lat}} = 2\pi r h.
Substituindo h=2r obtemos
A_{\text{lat}} = 2\pi r \cdot 2r.
Fazendo a multiplicação,
A_{\text{lat}} = 4\pi r^{2}.

Passo 4

Calculo a área total. Já sei que A_{\text{base}}=\pi r^{2} e que A_{\text{lat}}=4\pi r^{2}. Então
A_{\text{tot}} = A_{\text{lat}} + 2A_{\text{base}} = 4\pi r^{2} + 2\bigl(\pi r^{2}\bigr).
Somando os termos semelhantes,
A_{\text{tot}} = 4\pi r^{2} + 2\pi r^{2} = 6\pi r^{2}.

Passo 5

Calculo o volume usando V=\pi r^{2} h e substituindo h=2r.
Começo com
V = \pi r^{2} h.
Substituindo,
V = \pi r^{2} \cdot 2r.
Multiplicando,
V = 2\pi r^{3}.

Passo 6

Breve checagem de unidade e intuição: as áreas têm unidade de comprimento ao quadrado (por exemplo \text{m}^{2}) e o volume tem unidade de comprimento ao cubo (por exemplo \text{m}^{3}). Para r>0 os resultados são positivos e escalonam com r^{2} para áreas e com r^{3} para volume, como esperado.
Você mandou bem chegando até aqui — esses são os passos que costumam cair na prova: conhecer as fórmulas básicas (área da base, circunferência), entender o desdobramento da superfície lateral e fazer a substituição h=2r.

Resposta

A_{\text{lat}} = 4\pi r^{2}
A_{\text{tot}} = 6\pi r^{2}
V = 2\pi r^{3}

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